臆測活動設計單 吳如皓老師
活動名稱
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圓的性質:弧長、弧度、半徑之間的關係
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數學素養
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本活動主要培養學生數學素養為:(請勾選)
▓概念的瞭解 □程序的流暢 □策略的能力 ▓合適的推理
▓建設性的意向
□其他 (請列舉)
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設計發想
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藉由學生視覺上所造成的錯覺,引發認知衝突,提起學生想主動解決問題的學習意願,並讓學生對圓的性質與這些性質的形成原因更有感覺。
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活動目標
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瞭解弧長、弧度、半徑之間的關係,並從這三者可造成的視覺錯覺中探討得到更精確的認知與洞察力。
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使用策略
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▓1-1從錯誤類型出發
□1-2從定理公式出發
□1-3從數學知識出發
□2-1從有限離散的案例歸納形成
▓2-2從動態的案例歸納形成
▓2-3從類比形成
▓2-4從發想(溯因:定Q找P)形成
▓2-5從知覺(視覺、直觀、洞察)形成
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教學資源
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1.
長短貓魔術道具
2.
學習單
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活動內容
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學生表現
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一. 請用直覺回答下列是非題:(不列算式)
(一)在下圖中:(兩同心圓中,大圓半徑交小圓於A、B兩點)
1.( )弧AB與弧CD長度相等
2.( )弧AB與弧CD度數相等
3.( )弧AB與弧CD可以完全重合
(二)在下圖中:
(兩同心圓中,
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1.( )弧AB與弧CD長度相等
2.( )弧AB與弧CD度數相等
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(三)在右圖中:
(
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1.( )弧AEB與弧CFD長度相等
2.( )弧AEB與弧CFD度數相等
3.( )弧AEB與弧CFD可以完全重合
4.( )此兩弧為兩同心圓的部分
二. 承上題,請為自己的猜測說明理由。(列出算式或推論)
※在第二大題中,讓學生用自己的認知去檢測自己的直觀是否正確,以此自行修正。然後老師才給予答案,並帶學生一起討論認知衝突的原因與如何找尋正確的結論。在解決迷思概念之後,才進入第三大題。
三. 有人聲稱以下四項條件,只要有其中任兩項達成,就能保證弧AB與弧CD可以完全重合。你認同嗎?請完成下列是非題,並說明你的理由。
(甲) 弧AB所在圓的半徑等於弧CD所在圓的半徑
(乙) 弧AB與弧CD的度數相等
(丙) 弧AB與弧CD的長度相等
(丁)兩弧端點的連線段長度相等(
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1.( )若滿足(甲)、(乙),則兩弧重合。
2.( )若滿足(甲)、(丙),則兩弧重合。
3.( )若滿足(乙)、(丙),則兩弧重合。
4.( )若滿足(甲)、(丁),則兩弧重合。
5.( )若滿足(乙)、(丁),則兩弧重合。
6.( )若滿足(丙)、(丁),則兩弧重合。
四.
由前幾題的討論所得,寫下你對「圓的性質」的認知有哪些更為清晰?(完成下列是非題,並修正其中錯誤的敘述。)
1.( )等弧對等圓心角、等圓心角對等弧。
2.( )等弧對等弦、等弦對等弧。
3.( )兩半徑相等的圓稱為「等圓」。
4.( )兩直線處處等寬(平行線),則此兩直線的傾斜程度(斜率)相同。
5.( )兩圓處處等寬(同心圓),則此兩圓的彎曲程度(曲率)相同。
附件一:
1.甲圖與乙圖皆是由兩個圓弧組成的圖形,請問哪一個圖的兩弧可以拼成一個完整的圓?請寫下你的判斷方法,並解釋為何這麼做可以說明它是圓?(可以使用一枝有刻度的尺,但沒有圓規)。
甲圖 乙圖
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2.甲與乙的面積哪一個大?
(線段AA’=BB’=CC’=DD’,
且弧CD與弧C’D’為兩全
等的圓弧)
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附件二:
比較下列各組,哪組上與下的圖形完全一樣(全等)
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3. 4.
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(一)
◎學生正確的認知:
1.因為跑步時知道,內圈較短、外圈較長。所以此題弧AB長度較短。
◎學生錯誤的認知:
1.弧的度數相等,所以兩弧一樣彎,也就是弧AB可以完全重合在弧CD裡面。
(二)
◎學生正確的認知:
1. 因為跑步時知道,內圈較難加速、外圈較易加速。也就是內圈比較彎、外圈比較平,有此可知弧AB長度較長。
◎學生錯誤的認知:
1.因為「平行線截等弧」,所以弧AB=弧CD。
2.因為弧長等於「2πr×θ/360」,又r1<r2且θ1>θ2,所以應該彼此抵銷後可能相等。
3.依題意,大圓可以一直往外擴張下去,所以弧CD的長度較大。
4.一看到就感覺它們是一模一樣的。而且,此題兩弧的度數顯然不同。由此可做出結論:即使兩弧度數不同也可能重合。
5.因為跑步時知道,內圈較短、外圈較長。所以此題弧AB長度較短。
(三)
◎學生正確的認知:
1.因為ACFE是平行四邊形(一雙對邊平行且等長),所以
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◎學生錯誤的認知:
1.和上一題的圖類似,所以應該是同心圓,由上一題的圖可知弧AEB的度數較大。
2.圓心在下面,而弧CFD往上移了,所以弧CFD的半徑較大。
3.弧CFD的圓會包住弧AEB的圓,所以弧CFD的圓大,也就是弧CFD的半徑大。
4.弧CFD的圓會包不住弧AEB的圓,所以弧AEB的圓大,也就是弧AEB的半徑大。
三.
1.學生對半徑、弧長、弧度這三者關係的推論(有以知的兩者推未知的第三者)較為熟悉,所以前三題可以較迅速的完成。
2.學生對弦長與其他物件的關係較為陌生(後三題),容易遇到思考瓶頸或需要較長的時間。
3.第四題中,學生容易發現兩三角形SSS全等,進而解決問題。
4.第五題中,學生不容易發現兩三角形ASA全等,需要較長的時間或老師的引導。
5.第六題最難,且不易用國中的數學式推導出來。但有學生利用前幾題所學到的觀念來說明:當兩弦長相等時,比較彎的弧就會比較長、比較不彎的弧就會比較短。所以,兩弧要等長必須「一樣彎」,而「一樣彎」即是半徑相等。
四.
1.前兩題必須在同半徑的圓才有效,學習單的第一大題即是直接的反例,學生在此可以再次釐清所學到的性質。
2.第三題考的定義並非為了讓學生記憶背誦,而是呼應之前「兩半徑相等的弧」會「一樣彎」的感覺。
3.最後兩題把直線與弧線做了對比,讓學生釐清之前視覺被誤導的原因。
※在完成這四大題的學習之後,可以用三道題目(附件一)檢測學生的思維力與洞察力是否有進步。
※附件二
回應最開始的魔術,讓學生再次體驗錯誤參照的視覺誤差、直線與弧線的差異。
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◎延伸思考:
本教學設計主要是藉由視覺直觀所導致的迷思概念,造成學生認知衝突而展開主動學習。這迷思概念的可能來源,一是學生使用了不當的隱喻,二是學生的思維陷入了直觀規律因而產生錯誤的。分別敘述如下:
一.不當的隱喻:
學生在學實習為了理解,拿生活中的事物來比喻數學物件,但這樣的比喻可能會在某些地方造成迷思概念。例如把科學中的電流比喻成水流,在某些特性上就會出差錯。
在第一大題中,第一題有學生用「跑道內圈較短、外圈較長」,來推論此題弧AB長度較短,這時候正確。但到第二題學生用「跑道內圈較短、外圈較長」,來推論此題弧AB長度較短,這時候就錯了。因為學生沒注意到第二題的「起跑線」和生活中的不同,所以不能用「跑道內圈較短、外圈較長」來說明。(但若用「跑道內圈較彎、外圈較不彎」就正確了。)
二. 直觀規律
Tirosh & Stavy(1999)(註一)提出了四種直觀規律,其中第一種與第二種直觀規律和本教學設計相關,分別說明如下。
(一) More A - More
B
在二個物體大小比較的問題情境中,甲物體的A1量大於乙物體的A2量,學童會使用二物體中較明顯的量(A1、A2),去比較問題情境中所求量(B1、B2)的大小。解題過程只經由A1>A2的判斷,而不適當的推得B1>B2。
(二)Same A - Same B
在二個物體大小比較的問題情境中,甲物體的A1量等於乙物體的A2量,學童會使用二物體中較明顯的量(A1、A2),去比較問題情境中的所求量(B1、B2)的大小。解題過程只經由A1=A2的判斷,而不適當的推得B1=B2。
在第一大題中第二題有學生認為「外圈的周長比內圈大,所以外圈被截出來的弧長一定較大」、第一大題中第三題有學生認為「當圓心在下面時,弧的位子在越上面,其半徑也就越大」(忽略其實其並非同心圓)、附件一的第二題「乙圖的周長較長,所以乙圖的面積也比較大」,這些錯誤便是來自於More A - More B這項直觀規律。
在第一大題中的第一題有學生認為「因為兩弧度數相等,所以兩弧一樣彎」、第一大題中的第二題有學生認為「因為
=
,所以兩弧等長」、第四大題中的第五題「兩圓處處等寬(同心圓),則此兩圓的彎曲程度(曲率)相同」,這些錯誤便是來自於Same A - Same B這項直觀規律。
![](file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif)
![](file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif)
註一The
Intuitive Rules Theory and Inservice Teacher Education. In F. L. Lin
(Ed), Proceedings of the 1999
International Conference on Mathematics Teacher Education. Department of
Mathematics, National Taiwan Normal University: Taipei, Taiwan, 205-225
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