每個數都有各自的特色，而且引領到各種數學領域，但在一一細看之前，有必要很快看一下三個重要的問題：數是怎麼產生的？數的概念是如何發展的？到底什麼是數？
數的起源
在大約三萬五千年前的舊石器時代晚期，有個無名氏在狒狒的小腿腓骨上刻了29 道記號，這根骨頭是在史瓦濟蘭列朋波（Lebombo）山脈的洞穴裡發現的，因此稱為列朋波骨。一般認為它是計數工具：可在上面用一系列的刻痕 |、||、|||、⋯⋯來記錄數目。由於一個朔望月有29.5 天，所以列朋波骨上記錄的可能是遠古時候的某種陰曆—或是女性月經週期。又或者是一堆隨機的刻痕，或一件骨頭塗鴉。
1937 年卡爾．阿布索倫（Karl Absolon）在捷克發現的狼骨上，則有55 道刻痕。這件計數工具大約有三萬年的歷史。
1960 年，比利時地質學家布羅古爾（Jean de Heinzelin de Braucourt）在一處遭火山灰掩埋的小漁村遺址，發現了滿布刻痕的狒狒腓骨。遺址位於現今烏干達和剛果邊界上的伊尚戈（Ishango），而這根骨頭的年代推算出來是在兩萬年前左右。
關於伊尚戈骨，最單純的解釋仍是計數工具。有些人類學家研究得更仔細，注意到算術結構的元素，譬如乘法、除法、質數，有的人認為它是長達六個月的陰曆，還有一些人確信，骨頭上的刻痕是讓人能夠握緊這件工具，不具任何數學意義。
要解釋像這樣的模式，會遇到一個問題就是，在隨便一組小數字當中很難找不出模式。舉例來說，表1 列出了巴哈馬群島中十座島嶼的面積，也就是按總面積來看名列11 到20 的島嶼。為了打亂順序，我把這些島嶼按字母排序。我向大家保證：這是我試做的第一件事。不可否認的，要是這麼做無法說明我的論點，我會採取別的辦法—但可以說明，所以我就照這個方法。
在圖2 的數字「模式」裡，你注意到什麼了嗎？有許多帶有共同特徵的短數列。首先，整列數字有漂亮的對稱性。頭尾兩端都有三個3 的倍數，正中央有一對10 的倍數，各與兩端的數組隔著一個7 的倍數。此外，還出現了兩個平方數，9 = 32 及49 = 72 —而且都是質數的平方。另一組相鄰數對是15 和30，其中一個是另一個的兩倍。
一切再明白不過了。伊尚戈骨的另一個問題是，幾乎不可能找到額外的證據來證實任何一種具體的解釋。但骨頭上的刻痕確實令人好奇。數字之謎始終令人好奇。下面要談的東西，就沒那麼惹人爭議。距今一萬年前，居住在西亞地區的人利用陶籌（token）來記錄數目，可能是為了賦稅之需，或是當成所有權的證明。最早的例子來自伊朗札格洛斯山脈（Zagros Mountains）的兩處考古遺址，阿夏布丘（Tepe Asiab）和甘吉達雷丘（Ganj-i-Dareh Tepe）。這些小陶籌形狀不一，有的帶有象徵符號。帶有「＋」標記的小球代表一隻綿羊；七顆小球就表示是七隻綿羊。為了不要製作大量的陶籌，他們用另一種陶籌代表十隻綿羊。不過，他們也用了不同的陶籌來記十隻山羊，以此類推。考古學家丹妮絲．史曼特－白瑟拉（Denise Schmandt-Besserat）推斷，這些陶籌象徵當時的基本物資：穀物、動物、油罐。
到了西元前4000 年，他們把陶籌像項鍊似的串了起來，但這樣一來，就很容易增減陶籌而把數目給改了，所以他們又採取防範措施：把陶籌包裹在黏土裡再拿去燒。對於數目有異議的時候，可把黏土包剖開，以排解紛爭。西元前3500 年以後，為了避免不必要的破壞，古代美索不達米亞官員就在包裹外刻上符號，列出裡面的陶籌。
後來有個聰明人意識到，既然包裹上有符號，就用不著陶籌了，於是產生一個書寫數字符號系統，為後續所有的記數系統鋪路，可能也促成了文字本身的發展。
不斷擴充的數系
我們往往會把數字想成固定而一成不變的東西：自然界的特徵。事實上，數字是人類發明的—而且是非常有用的發明，因為數字能表示大自然的重要層面，比如你有幾隻綿羊，或是宇宙有多老。大自然不斷開啟新的疑問，令我們大感驚奇，要回答這些問題，有時就需要新的數學概念。有些時候，數學的內在需求暗示有新的、可能有用的結構。這些暗示和疑問有時促使數學家發明出新數，擴充了數系。
我們在前面已經看到，數字最初是用來計數物品的方法。古希臘時代初期，數的開頭是2、3、4 等等：1 很特殊，算不上是數字。後來，這個慣例開始顯得愚蠢，大家就把1 也視為數字了。
數系擴充的下一個躍進是引入分數。如果想把某件物品分給幾個人，分數很有用。三個人若要平分兩英斗穀子，每人可分得2/3 英斗。
數字0 更晚才出現，可能因為不太需要。如果一隻綿羊也沒有，就不需要數羊或列清單。最初引進0 時是把它當成符號，而不是真正的數。然而，在中國和印度數學家引進負數時﹝見 -1﹞，不得不把0 也視為一個數。譬如1 + (-1) = 0，兩數之和當然也算是一個數。
數學家把下面這個數系「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」稱為自然數，負數也包含進來之後，就得到整數「. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .」。分數、零和負分數，就形成了有理數。
一個數若大於零，就是正數，如果小於零，就是負數，因此每個數（不論是整數還是有理數）都可歸到三大類的其中之一：正數、負數或零。計物數「1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」就是正整數，這個慣例引出了一個相當笨拙的術語：我們通常也把自然數「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」稱為非負整數。真是抱歉啊。
很長一段時間，大家對於數的認知就到分數為止。然而古希臘人證明了，分數的平方永遠不可能恰好等於2。後來的說法是「√2 是無理數」，意思就是，它不是有理數（譯者按：有理數的英文rational 衍生自ratio，意為成比例的）。希臘人的說法比這更囉嗦，不過他們知道√2 一
定存在：根據畢氏定理，這個數就等於邊長為1 的正方形的對角線長。因此，現在需要的數更多了：光靠有理數應付不了。希臘人建立了一套複雜的幾何方法來處理無理數，但還不夠圓滿。
小數點及十進位表示法的發明，促使我們朝著近代的數的概念又邁進一步，讓我們能夠非常準確地表示出無理數。比方說√2 ≈ 1.4142135623準確到第10 位小數（在這裡和其他地方，≈ 這個符號的意思是「約等於」）。這個式子並不精確：它的平方事實上會等於1.99999999979325598129
準確到第20 位小數的更精確近似值是√2 ≈ 1.41421356237309504880，但同樣的，這也不是精確值。不過，就嚴謹的邏輯意義而言，無限長的小數展開式是精確的。像這樣的表示式當然無法完整寫下來，但還是有可能建構出概念，使這些表示式說得通。
無限長的小數（也包括有限小數，因為我們可以把這些小數想成後面有無窮多個0），叫做實數，部分原因是，這些數直接對應到自然界的測量，譬如長度或重量。量測值越準確，需要的小數位越多；想獲得精確值，就需要無窮多位。「實」數的定義竟要用到實際上無法完整寫出的無限大符號，說來還挺可笑的。也可以有負的實數。
18 世紀之前，大家視為真正的數的數學概念，就只有這些，沒別的了。但15 世紀時，其實有幾位數學家想知道有沒有新的數：負一的平方根，也就是自乘的結果會等於 -1 的數。這個想法乍看起來很蠢，因為隨便哪個實數的平方都是正數或零。然而後來發現，不必多想，儘管為 -1 添個平方根，果真是好主意，歐拉（Leonhard Euler）還特地引進了符號i。這是「虛構」的英文字imaginary（和拉丁文、法文及德文字）的第一個字母，是為了與原有的實數作區隔才這麼命名的。不幸的是，這帶來了大量不必要的神祕主義色彩，萊布尼茲（Gottfried Leibniz）曾把i 稱為「存在與不存在之間的兩棲類」，而這種色彩也掩蓋住一件重要事實：實數與虛數有完全相同的邏輯地位。兩者都是模擬真實世界的人為概念，本身都不是實際存在的。
有了i，就必須引進許多其他的新數，像是2 + 3i，才能做運算。這些數稱為複數，過去幾百年來的數學及科學少不了複數。這是古怪卻千真萬確的事實，但大多數人還是頭一次聽說，因為學校數學課本裡不常出現複數。並不是複數不重要，而是複數的概念太過複雜，複數的應用又過於進階。
數學家使用花俏的符號來代表主要數系。我在後面不會再用到這些符號，但各位可能還是要看一次：
N = 所有自然數0、1、2、3、⋯⋯的集合
Z = 所有整數 -3、-2、-1、0、1、2、3、⋯⋯的集合
Q = 所有有理數的集合
R = 所有實數的集合
C = 所有複數的集合
這些數系就像俄羅斯娃娃般，一個套在另一個裡面：
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
集合論的符號 ⊂ 的意思是「包含於」。你會發現，每個整數也都是有理數；譬如整數3，也等於分數3/1 。我們通常不會這麼寫，但兩種表示法代表的是同一個數。同樣的，每個有理數也都是實數，而每個實數又都是複數。舊有的數系併入新的，而不是被取而代之。
幾百年來數學家好幾次擴充數系，即使到了複數都還不是終點。舉例來說，還有四元數H 和八元數 O﹝見4﹞，不過，這兩種數從代數的角度看比較有利，而不是從算術的角度。所以，最後我要提一個更弔詭的數—無限大。從哲學上看，無限大與普通的數不同，它不屬於從自然數到複數的任何一個數系。它徘徊在邊緣，似數又非數。直到康托（Georg Cantor）出現，重新檢視我們的起點—計數，並證明了無限大不僅是可計數的數，而且還有不同大小的無限大。譬如有 0א ，即自然數（非負整數）的個數，以及 c，即實數的個數；後者比前者大。要問究竟大多少，是沒有實際意義的：這要看你採用哪種公理系統來定出數學的形式。
不過，就等我們先對比較普通的數字建立出足夠的直覺，再來看這些數吧。這就要談到我的第三個問題了。
數是什麼？
這個問題聽起來好像很簡單，而且的確簡單。但答案並不簡單。
我們都知道怎麼運用數目。我們都知道七隻牛、七隻羊或七張椅子看起來的模樣。我們都可以從一數到七。但七到底是什麼？
它不是符號7。那是隨意選定的，而且在許多文化中會用不同的符號。在阿拉伯是 ٧，而在中國是七或柒。
它也不是英文字seven，在法文中會是sept，德文是sieben。
大約在19 世紀中葉，有幾位對邏輯學感興趣的數學家領悟到，儘管大家幾千年來欣然使用數目，卻沒有人真正知道數是什麼。因此他們拋出了這個可能從來沒人問過的問題：數是什麼？
這個問題比聽起來還要麻煩。我們沒辦法在物質世界中把數目出示給別人看。數目是抽象的東西，是人類腦袋裡的概念—產生自真實世界，卻又不是真實存在的。
這聽起來可能有點惱人，不過並不是只有數目如此。有個大家熟悉的例子，那就是「錢」。我們都知道怎麼付錢以及找零，而且我們天真地想像這是靠交換金錢來達成的，因此我們往往把錢視為是口袋或皮夾裡的硬幣和鈔票。然而事情沒那麼簡單。如果我們使用信用卡，就沒有硬幣或鈔票轉手了，而現在情況會變成，訊號通過電信系統，傳到信用卡公司，最後再傳到銀行，然後幾個（我們的、店家的、信用卡公司的）銀行帳戶裡的數字有了改變。過去一張5 英鎊鈔票承擔了「我答應即期付給持有人總額五英鎊」的諾言，它並不是錢，而是付錢的承諾。很久以前，你還可以拿著鈔票去銀行換黃金，那時大家把黃金視為真正的錢。到了今天，所有的銀行只會換另一張5 英鎊鈔票給你。不過，黃金其實也不是錢，它只是錢的有形表象。最好的證明就是，黃金的價值不是固定不變的。
那麼錢是數目嗎？是，但僅限於特定的法律範圍內。在一張紙上寫下 $1,000,000，並不會使你變成百萬富翁。錢之所以是錢，是因為有很多的人為約定，讓我們知道如何表示錢的數目，以及如何用錢交換物品或其他數額。重要的是你拿錢去做什麼，錢本身是什麼並不重要。錢是抽象的概念。
數目也是，但這算不上是好的答案，因為所有的數學都是抽象概念。所以，有幾位數學家繼續思索，究竟哪種抽象概念可以定義「數」。1884 年，德國數學家弗雷格（Gottlob Frege）寫了《算術基礎》（The Foundations of Arithmetic），奠定了數可以依歸的基本原則。十年後他又更進一步，試圖從更基礎的邏輯法則推導出這些基本原則。他的《算術基本法則》（Basic Laws of Arithmetic）分成兩卷出版，第一卷出版於1893 年，第二卷則在1903 年出版。
弗雷格從計數過程開始，但他著重的不是我們使用的數字，而是所計數的物品。如果我在桌上擺了七個茶杯，然後數「1、2、3、4、5、6、7」，那麼重點似乎在數字。弗雷格卻不這麼認為：他思考的是茶杯。我們可以計數，是因為我們想要清點一堆茶杯裡有多少個。換成一堆別的東西，也許就得出另一個數目。弗雷格把這些集合物稱為類（class，他用的是德文字Klasse）。我們計數這個類包含多少茶杯時，其實是在建立茶杯類和數字符號1、2、3、4、5、6、7 之間的對應（correspondence）。
這看起來再明顯不過了，但弗雷格明白這當中有更深層的意義，那就是，我們可以不必用到符號1、2、3、4、5、6、7，也不必知道有多少茶杯或碟子，就能證明碟子類包含的碟子數目，會和茶杯類包含的茶杯數目一樣多。這就足以建立茶杯類與碟子類之間的對應：
附帶一提，也許你曾經納悶，為什麼小學生要花時間去把一群牛和一群雞或什麼的做配對、做「連連看」，這都要怪弗雷格。過去有些教育理論家希望（可能現在仍希望），弗雷格的方法可以提升學童對於數目的直覺，我卻傾向於把這視為是提升邏輯直覺，忽略心理直覺，沒弄清「基礎」的意義，不過我們就別在這裡重掀數學戰爭了。
弗雷格的結論是，利用對應把類配對，正是「數」的意義所在。計數一個類當中有多少東西，就是把這個類配對到標準類，這個標準類中的元素就記為1、2、3、4、5、6、7 等傳統符號（視你的文化而定）。不過，弗雷格認為數的概念與文化無關，所以他想出一套辦法，完全不會用到任意選定的符號。說得更確切些，他發明了通用的超級符號，不管在哪個文化中都是一樣的，但這套符號沒辦法寫下來：它是純粹概念上的。
首先他指出，包含在一個類中的元素本身也可以是類。這些元素不一定是類，但也沒理由禁止。一箱焗豆罐頭是生活中可見到的例子：箱子裡的元素是罐頭，罐頭裡的元素是焗豆。所以，用類當作其他的類的元素，一點問題也沒有。
藉由對應，「七」這個數目就與可配對到茶杯類的任何一個類、或相對應的碟子類、或由符號1、2、3、4、5、6、7 構成的類，產生了關聯。從中任選一個類，稱它為數，就是一種任意的決定，不夠優雅巧妙，也不夠好。那麼，為什麼不貫徹到底，使用所有這些類呢？這樣的話，「七」就能定義成：對應到剛才所提任何一個（因此是所有的）類的所有的類所構成的類。然後，我們只要看某個類是不是這個所有的類構成的類之中的元素，就能知道這個類是不是含有七個元素。為了方便起見，我們把這個所有的類構成的類標記成「七」，但即使我們沒這麼做，這個類本身也是說得通的。就這樣，弗雷格把一個數和代表該數的任意名稱（或符號）區隔開來。
接著，他可以再定義數是什麼：即對應到某個類（因此也互相對應）的所有的類所構成的類。這類型的類，就是我在前面說的「超級符號」。如果你對這種思考方式感興趣，這會是個高明的想法。實際上，我們並不是替那個數選個名稱，而是在概念上把所有可能的名稱合併成單一的物件，然後改用這個物件。
這麼做有用嗎？等你讀到第﹝ 0א ﹞章，就會知道了。
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