2016年10月29日 星期六

學數學,弄懂這39個數字就對了

1、2、3、4、5、6、7⋯⋯還有什麼比這更簡單?然而,讓人類從泥地上起身並望向星空的,莫過於數目。
每個數都有各自的特色,而且引領到各種數學領域,但在一一細看之前,有必要很快看一下三個重要的問題:數是怎麼產生的?數的概念是如何發展的?到底什麼是數?
數的起源
在大約三萬五千年前的舊石器時代晚期,有個無名氏在狒狒的小腿腓骨上刻了29 道記號,這根骨頭是在史瓦濟蘭列朋波(Lebombo)山脈的洞穴裡發現的,因此稱為列朋波骨。一般認為它是計數工具:可在上面用一系列的刻痕 |、||、|||、⋯⋯來記錄數目。由於一個朔望月有29.5 天,所以列朋波骨上記錄的可能是遠古時候的某種陰曆—或是女性月經週期。又或者是一堆隨機的刻痕,或一件骨頭塗鴉。
1937 年卡爾.阿布索倫(Karl Absolon)在捷克發現的狼骨上,則有55 道刻痕。這件計數工具大約有三萬年的歷史。
1960 年,比利時地質學家布羅古爾(Jean de Heinzelin de Braucourt)在一處遭火山灰掩埋的小漁村遺址,發現了滿布刻痕的狒狒腓骨。遺址位於現今烏干達和剛果邊界上的伊尚戈(Ishango),而這根骨頭的年代推算出來是在兩萬年前左右。
關於伊尚戈骨,最單純的解釋仍是計數工具。有些人類學家研究得更仔細,注意到算術結構的元素,譬如乘法、除法、質數,有的人認為它是長達六個月的陰曆,還有一些人確信,骨頭上的刻痕是讓人能夠握緊這件工具,不具任何數學意義。


數的起源
(圖1)

這根骨頭當然非常有趣。上頭的刻痕有三組,中央的那組用到數目3、6、4、8、10、5、7, 其中6 是3 的兩倍,8 是4 的兩倍,10是5 的兩倍,但第三對的順序顛倒了,而7 絲毫不符合此模式。左邊的那組是11、13、17、19:介於10 到20 之間的質數。右邊的那組是奇數11、21、19、9。左右兩組的數目相加起來都是60。
要解釋像這樣的模式,會遇到一個問題就是,在隨便一組小數字當中很難找不出模式。舉例來說,表1 列出了巴哈馬群島中十座島嶼的面積,也就是按總面積來看名列11 到20 的島嶼。為了打亂順序,我把這些島嶼按字母排序。我向大家保證:這是我試做的第一件事。不可否認的,要是這麼做無法說明我的論點,我會採取別的辦法—但可以說明,所以我就照這個方法。
在圖2 的數字「模式」裡,你注意到什麼了嗎?有許多帶有共同特徵的短數列。首先,整列數字有漂亮的對稱性。頭尾兩端都有三個3 的倍數,正中央有一對10 的倍數,各與兩端的數組隔著一個7 的倍數。此外,還出現了兩個平方數,9 = 32 及49 = 72 —而且都是質數的平方。另一組相鄰數對是15 和30,其中一個是另一個的兩倍。

數的起源
(圖2)


數的起源
(表1)

在9 - 93 - 49 這個數列中,每個數字裡都有9。除了110 - 80 -14,其餘的數字都是大小相間的。噢,你有沒有發現,這十個數都不是質數?
一切再明白不過了。伊尚戈骨的另一個問題是,幾乎不可能找到額外的證據來證實任何一種具體的解釋。但骨頭上的刻痕確實令人好奇。數字之謎始終令人好奇。下面要談的東西,就沒那麼惹人爭議。距今一萬年前,居住在西亞地區的人利用陶籌(token)來記錄數目,可能是為了賦稅之需,或是當成所有權的證明。最早的例子來自伊朗札格洛斯山脈(Zagros Mountains)的兩處考古遺址,阿夏布丘(Tepe Asiab)和甘吉達雷丘(Ganj-i-Dareh Tepe)。這些小陶籌形狀不一,有的帶有象徵符號。帶有「+」標記的小球代表一隻綿羊;七顆小球就表示是七隻綿羊。為了不要製作大量的陶籌,他們用另一種陶籌代表十隻綿羊。不過,他們也用了不同的陶籌來記十隻山羊,以此類推。考古學家丹妮絲.史曼特-白瑟拉(Denise Schmandt-Besserat)推斷,這些陶籌象徵當時的基本物資:穀物、動物、油罐。
到了西元前4000 年,他們把陶籌像項鍊似的串了起來,但這樣一來,就很容易增減陶籌而把數目給改了,所以他們又採取防範措施:把陶籌包裹在黏土裡再拿去燒。對於數目有異議的時候,可把黏土包剖開,以排解紛爭。西元前3500 年以後,為了避免不必要的破壞,古代美索不達米亞官員就在包裹外刻上符號,列出裡面的陶籌。
後來有個聰明人意識到,既然包裹上有符號,就用不著陶籌了,於是產生一個書寫數字符號系統,為後續所有的記數系統鋪路,可能也促成了文字本身的發展。

數的起源
(圖3)

本書基本上不是要講歷史,所以後來出現的記數系統,我會留待我們談到相關的數字時再來介紹,例如古代及近代的十進位表示法,會在第﹝10﹞章談到。然而就如大數學家高斯(Carl Friedrich Gauss)說過的,重要的是概念(notion),不是記法(notation),後續所談的主題,若是從人類對於數的看法不斷轉變的背景來解讀,會更容易理解。那麼,我們先很快地簡介主要的數系和幾個重要術語。
不斷擴充的數系
我們往往會把數字想成固定而一成不變的東西:自然界的特徵。事實上,數字是人類發明的—而且是非常有用的發明,因為數字能表示大自然的重要層面,比如你有幾隻綿羊,或是宇宙有多老。大自然不斷開啟新的疑問,令我們大感驚奇,要回答這些問題,有時就需要新的數學概念。有些時候,數學的內在需求暗示有新的、可能有用的結構。這些暗示和疑問有時促使數學家發明出新數,擴充了數系。
我們在前面已經看到,數字最初是用來計數物品的方法。古希臘時代初期,數的開頭是2、3、4 等等:1 很特殊,算不上是數字。後來,這個慣例開始顯得愚蠢,大家就把1 也視為數字了。
數系擴充的下一個躍進是引入分數。如果想把某件物品分給幾個人,分數很有用。三個人若要平分兩英斗穀子,每人可分得2/3 英斗。

不斷擴充的數系
(圖4)

古埃及人用三種寫法來表示分數。他們有專門表示2/3 和3/4 的象形文字。他們用荷魯斯之眼(或瓦吉特女神的眼睛)的不同部位,來表示2 的前六個乘冪(次方)的倒數。最後,他們替單位分數發明了符號,單位分數就是「分子為1」的分數: 1/2 、1/3 、1/4 、1/5 等等。他們把其他所有的分數表示成不同單位分數之和,譬如2/3=1/2+1/6,我們並不清楚他們為什麼不把2/3 寫成1/3 + 1/3 ,但他們就是沒這麼做。
數字0 更晚才出現,可能因為不太需要。如果一隻綿羊也沒有,就不需要數羊或列清單。最初引進0 時是把它當成符號,而不是真正的數。然而,在中國和印度數學家引進負數時﹝見 -1﹞,不得不把0 也視為一個數。譬如1 + (-1) = 0,兩數之和當然也算是一個數。
數學家把下面這個數系「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」稱為自然數,負數也包含進來之後,就得到整數「. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .」。分數、零和負分數,就形成了有理數。
一個數若大於零,就是正數,如果小於零,就是負數,因此每個數(不論是整數還是有理數)都可歸到三大類的其中之一:正數、負數或零。計物數「1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」就是正整數,這個慣例引出了一個相當笨拙的術語:我們通常也把自然數「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .」稱為非負整數。真是抱歉啊。
很長一段時間,大家對於數的認知就到分數為止。然而古希臘人證明了,分數的平方永遠不可能恰好等於2。後來的說法是「√2 是無理數」,意思就是,它不是有理數(譯者按:有理數的英文rational 衍生自ratio,意為成比例的)。希臘人的說法比這更囉嗦,不過他們知道√2 一
定存在:根據畢氏定理,這個數就等於邊長為1 的正方形的對角線長。因此,現在需要的數更多了:光靠有理數應付不了。希臘人建立了一套複雜的幾何方法來處理無理數,但還不夠圓滿。
小數點及十進位表示法的發明,促使我們朝著近代的數的概念又邁進一步,讓我們能夠非常準確地表示出無理數。比方說√2 ≈ 1.4142135623準確到第10 位小數(在這裡和其他地方,≈ 這個符號的意思是「約等於」)。這個式子並不精確:它的平方事實上會等於1.99999999979325598129
準確到第20 位小數的更精確近似值是√2 ≈ 1.41421356237309504880,但同樣的,這也不是精確值。不過,就嚴謹的邏輯意義而言,無限長的小數展開式是精確的。像這樣的表示式當然無法完整寫下來,但還是有可能建構出概念,使這些表示式說得通。
無限長的小數(也包括有限小數,因為我們可以把這些小數想成後面有無窮多個0),叫做實數,部分原因是,這些數直接對應到自然界的測量,譬如長度或重量。量測值越準確,需要的小數位越多;想獲得精確值,就需要無窮多位。「實」數的定義竟要用到實際上無法完整寫出的無限大符號,說來還挺可笑的。也可以有負的實數。
18 世紀之前,大家視為真正的數的數學概念,就只有這些,沒別的了。但15 世紀時,其實有幾位數學家想知道有沒有新的數:負一的平方根,也就是自乘的結果會等於 -1 的數。這個想法乍看起來很蠢,因為隨便哪個實數的平方都是正數或零。然而後來發現,不必多想,儘管為 -1 添個平方根,果真是好主意,歐拉(Leonhard Euler)還特地引進了符號i。這是「虛構」的英文字imaginary(和拉丁文、法文及德文字)的第一個字母,是為了與原有的實數作區隔才這麼命名的。不幸的是,這帶來了大量不必要的神祕主義色彩,萊布尼茲(Gottfried Leibniz)曾把i 稱為「存在與不存在之間的兩棲類」,而這種色彩也掩蓋住一件重要事實:實數與虛數有完全相同的邏輯地位。兩者都是模擬真實世界的人為概念,本身都不是實際存在的。
有了i,就必須引進許多其他的新數,像是2 + 3i,才能做運算。這些數稱為複數,過去幾百年來的數學及科學少不了複數。這是古怪卻千真萬確的事實,但大多數人還是頭一次聽說,因為學校數學課本裡不常出現複數。並不是複數不重要,而是複數的概念太過複雜,複數的應用又過於進階。
數學家使用花俏的符號來代表主要數系。我在後面不會再用到這些符號,但各位可能還是要看一次:
N = 所有自然數0、1、2、3、⋯⋯的集合
Z = 所有整數 -3、-2、-1、0、1、2、3、⋯⋯的集合
Q = 所有有理數的集合
R = 所有實數的集合
C = 所有複數的集合
這些數系就像俄羅斯娃娃般,一個套在另一個裡面:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
集合論的符號 ⊂ 的意思是「包含於」。你會發現,每個整數也都是有理數;譬如整數3,也等於分數3/1 。我們通常不會這麼寫,但兩種表示法代表的是同一個數。同樣的,每個有理數也都是實數,而每個實數又都是複數。舊有的數系併入新的,而不是被取而代之。
幾百年來數學家好幾次擴充數系,即使到了複數都還不是終點。舉例來說,還有四元數H 和八元數 O﹝見4﹞,不過,這兩種數從代數的角度看比較有利,而不是從算術的角度。所以,最後我要提一個更弔詭的數—無限大。從哲學上看,無限大與普通的數不同,它不屬於從自然數到複數的任何一個數系。它徘徊在邊緣,似數又非數。直到康托(Georg Cantor)出現,重新檢視我們的起點—計數,並證明了無限大不僅是可計數的數,而且還有不同大小的無限大。譬如有 0א ,即自然數(非負整數)的個數,以及 c,即實數的個數;後者比前者大。要問究竟大多少,是沒有實際意義的:這要看你採用哪種公理系統來定出數學的形式。
不過,就等我們先對比較普通的數字建立出足夠的直覺,再來看這些數吧。這就要談到我的第三個問題了。
數是什麼?
這個問題聽起來好像很簡單,而且的確簡單。但答案並不簡單。
我們都知道怎麼運用數目。我們都知道七隻牛、七隻羊或七張椅子看起來的模樣。我們都可以從一數到七。但七到底是什麼?
它不是符號7。那是隨意選定的,而且在許多文化中會用不同的符號。在阿拉伯是 ٧,而在中國是七或柒。
它也不是英文字seven,在法文中會是sept,德文是sieben。
大約在19 世紀中葉,有幾位對邏輯學感興趣的數學家領悟到,儘管大家幾千年來欣然使用數目,卻沒有人真正知道數是什麼。因此他們拋出了這個可能從來沒人問過的問題:數是什麼?
這個問題比聽起來還要麻煩。我們沒辦法在物質世界中把數目出示給別人看。數目是抽象的東西,是人類腦袋裡的概念—產生自真實世界,卻又不是真實存在的。
這聽起來可能有點惱人,不過並不是只有數目如此。有個大家熟悉的例子,那就是「錢」。我們都知道怎麼付錢以及找零,而且我們天真地想像這是靠交換金錢來達成的,因此我們往往把錢視為是口袋或皮夾裡的硬幣和鈔票。然而事情沒那麼簡單。如果我們使用信用卡,就沒有硬幣或鈔票轉手了,而現在情況會變成,訊號通過電信系統,傳到信用卡公司,最後再傳到銀行,然後幾個(我們的、店家的、信用卡公司的)銀行帳戶裡的數字有了改變。過去一張5 英鎊鈔票承擔了「我答應即期付給持有人總額五英鎊」的諾言,它並不是錢,而是付錢的承諾。很久以前,你還可以拿著鈔票去銀行換黃金,那時大家把黃金視為真正的錢。到了今天,所有的銀行只會換另一張5 英鎊鈔票給你。不過,黃金其實也不是錢,它只是錢的有形表象。最好的證明就是,黃金的價值不是固定不變的。
那麼錢是數目嗎?是,但僅限於特定的法律範圍內。在一張紙上寫下 $1,000,000,並不會使你變成百萬富翁。錢之所以是錢,是因為有很多的人為約定,讓我們知道如何表示錢的數目,以及如何用錢交換物品或其他數額。重要的是你拿錢去做什麼,錢本身是什麼並不重要。錢是抽象的概念。
數目也是,但這算不上是好的答案,因為所有的數學都是抽象概念。所以,有幾位數學家繼續思索,究竟哪種抽象概念可以定義「數」。1884 年,德國數學家弗雷格(Gottlob Frege)寫了《算術基礎》(The Foundations of Arithmetic),奠定了數可以依歸的基本原則。十年後他又更進一步,試圖從更基礎的邏輯法則推導出這些基本原則。他的《算術基本法則》(Basic Laws of Arithmetic)分成兩卷出版,第一卷出版於1893 年,第二卷則在1903 年出版。
弗雷格從計數過程開始,但他著重的不是我們使用的數字,而是所計數的物品。如果我在桌上擺了七個茶杯,然後數「1、2、3、4、5、6、7」,那麼重點似乎在數字。弗雷格卻不這麼認為:他思考的是茶杯。我們可以計數,是因為我們想要清點一堆茶杯裡有多少個。換成一堆別的東西,也許就得出另一個數目。弗雷格把這些集合物稱為類(class,他用的是德文字Klasse)。我們計數這個類包含多少茶杯時,其實是在建立茶杯類和數字符號1、2、3、4、5、6、7 之間的對應(correspondence)。

數是什麼?
(圖5)

同樣的,假定有一個碟子類,我們大概也可以建立這樣的對應:

數是什麼?
(圖6)

如果是這樣的話,我們就能斷定,碟子類所含的碟子數,與茶杯類所含的茶杯數一樣多。我們甚至還能知道有多少:七個。
這看起來再明顯不過了,但弗雷格明白這當中有更深層的意義,那就是,我們可以不必用到符號1、2、3、4、5、6、7,也不必知道有多少茶杯或碟子,就能證明碟子類包含的碟子數目,會和茶杯類包含的茶杯數目一樣多。這就足以建立茶杯類與碟子類之間的對應:

數是什麼?
(圖7)

用術語來說,這種對應叫做一對一(one-to-one)的對應:每個茶杯恰好配一個碟子,而每個碟子也剛好配一個茶杯。如果我們數漏了,或是同一個茶杯重複數了幾次,計數就無效了。我們不妨把這稱為對應,同時記住這個數學上的條件。
附帶一提,也許你曾經納悶,為什麼小學生要花時間去把一群牛和一群雞或什麼的做配對、做「連連看」,這都要怪弗雷格。過去有些教育理論家希望(可能現在仍希望),弗雷格的方法可以提升學童對於數目的直覺,我卻傾向於把這視為是提升邏輯直覺,忽略心理直覺,沒弄清「基礎」的意義,不過我們就別在這裡重掀數學戰爭了。
弗雷格的結論是,利用對應把類配對,正是「數」的意義所在。計數一個類當中有多少東西,就是把這個類配對到標準類,這個標準類中的元素就記為1、2、3、4、5、6、7 等傳統符號(視你的文化而定)。不過,弗雷格認為數的概念與文化無關,所以他想出一套辦法,完全不會用到任意選定的符號。說得更確切些,他發明了通用的超級符號,不管在哪個文化中都是一樣的,但這套符號沒辦法寫下來:它是純粹概念上的。
首先他指出,包含在一個類中的元素本身也可以是類。這些元素不一定是類,但也沒理由禁止。一箱焗豆罐頭是生活中可見到的例子:箱子裡的元素是罐頭,罐頭裡的元素是焗豆。所以,用類當作其他的類的元素,一點問題也沒有。
藉由對應,「七」這個數目就與可配對到茶杯類的任何一個類、或相對應的碟子類、或由符號1、2、3、4、5、6、7 構成的類,產生了關聯。從中任選一個類,稱它為數,就是一種任意的決定,不夠優雅巧妙,也不夠好。那麼,為什麼不貫徹到底,使用所有這些類呢?這樣的話,「七」就能定義成:對應到剛才所提任何一個(因此是所有的)類的所有的類所構成的類。然後,我們只要看某個類是不是這個所有的類構成的類之中的元素,就能知道這個類是不是含有七個元素。為了方便起見,我們把這個所有的類構成的類標記成「七」,但即使我們沒這麼做,這個類本身也是說得通的。就這樣,弗雷格把一個數和代表該數的任意名稱(或符號)區隔開來。
接著,他可以再定義數是什麼:即對應到某個類(因此也互相對應)的所有的類所構成的類。這類型的類,就是我在前面說的「超級符號」。如果你對這種思考方式感興趣,這會是個高明的想法。實際上,我們並不是替那個數選個名稱,而是在概念上把所有可能的名稱合併成單一的物件,然後改用這個物件。
這麼做有用嗎?等你讀到第﹝ 0א ﹞章,就會知道了。

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