2015年4月28日 星期二

連分數漫談
江慶昱      臺中市私立衛道中學退休數學教師
楔子
去年衛道中學小六考國中,考了一題連分數,大致上是這樣子的。例如
[2, 3, 1, 2]表示。
十多年前高中有教到連分數,用輾轉相除法求之。
項武義先生在微積分一書中說:微積分用來用去主要的就是「逼近法」這麼單斧直攻的一招。(1)
我們在修習代數數論時,知道「連分數逼近法」是一個非常有效的逼近法,因此,雖然9599課綱不上連分數,現在漫談連分數這就不會那麼奇怪了。
日食
日食的形成原因是因為太陽、月球、地球剛好在同一條直線上,月球恰巧將太陽遮住,所以在地球上的某些區域無法看到太陽。
如果單從月相變化來看,每當月亮位於「朔」的位置,似乎就應該產生日食,但實際上卻並不是如此。
原因就是地球繞太陽公轉的平面(黃道面)與月球繞地球公轉的平面(白道面)有一個大約五度的夾角,必須日、月兩者的位置相距在一度內,才能產生日食現象;所以必須等到地球繞太陽公轉軌道的位置,剛好位於白道面與黃道面的兩個交點(升交點、降交點)才有可能發生日食的現象,亦即必須符合這兩個條件才有可能發生日食的現象。
如果月球位於朔的位置,且恰巧位於白道與黃道的兩個交點上,就有可能發生日食。月相盈虧的平均週期約為29.530588(稱為朔望月),而月球穿過同一黃道面的交點週期為27.212220(稱為交點月)
連分數
交點週期=27.212220(交點月),朔望週期=29.530588(朔望月)。設
S=n個朔望月=m個交點月
,則
,
將它用連分數表示
這個連分數的一,二,三,...次近似值(漸進分數)
,
取到第五次近似值,即,此時可取m=242, n=223,
m個交點月=6585.3572日,
n223朔望月=6585.3211日。
它們相差0.0361日,因此6585.3211日近似地看成朔望月與交點月的公倍數。朔望月與交點月的最小公倍數大約為6585.32天,這個週期便是沙羅週期。
6585.32天,大約是223個朔望月,因此也常用223個朔望月來代表沙羅週期。
沙羅週期(Saros cycle)是巴比倫人發現的,經過一個沙羅週期,太陽,地球,月球回到相似的幾何位置,於是發生幾乎相同的蝕。
日食預測
西元前6~7世紀,伊朗高原的米底亞王國(Medes,今日伊朗、阿富汗北部、土耳其東部地區 )向西征服了亞述帝國,占領它的首都尼尼微,然後繼續西進小亞細亞,遇到了米底亞王國(Lydians,今日土耳其西部 ),兩國在哈利斯(Halys今柯茲勒河)發生劇烈戰爭,連續五年未見勝負,橫屍遍野。
泰勒斯(Thales 620BC~546BC)是希臘的數學家,哲學家,天文學家,比畢達哥拉斯年長一些,他預知528下午3(585BC)會有日全食,於是他向交戰兩國宣布:上天對這場戰爭十分厭惡,將用日食向你們示警,若你們再不休戰,將有大難臨頭。
交戰雙方都不理會泰勒斯的警告,直到交戰時真的發生了日食,白晝變成黑夜,他們非常恐懼,於是歃血為盟,結束了戰爭。
這件事紀錄於古希臘歷史學家希羅多德(Herodotus 484BC~425BC)的著作希波戰爭史第一卷。
泰勒斯到過巴比倫,他能預測日食,顯然他遊學巴比倫期間學得了巴比倫的天文學。
後記
連分數一般的演算法是由P.A.Cataldi(1548~1626)1613年提出,第一次有系統的研究是尤拉(L.P.Euler 1703~1783)1737年提出。
至於國內,沈昭亮先生是我所知道的教授中,連分數的專家,參考資料中(5)(6)是他發表的連分式。
十多年前,我當數學科召集人,請沈昭亮教授到學校演講「連分數」,沈教授千里迢迢從新竹到台中,但是,(1)學校為了不耽誤學生課業,就只找二、三十位學生來聽;(2)學生沒有準備,因此與教授互動不足。
當時對沈教授的歉意一直在心上,至今猶不能忘懷。在此利用這個機會,向沈教授致上一個遲來的歉意。
參考資料
1.      項武義,微積分》,萬人出版社。P.145.
3.      林聰源,認識連分數〉。
http//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/
(
包含黃金比例,的連分數表示法)
4.      陳敏晧,黃金比例II〉,國科會高瞻自然科學教學資源平台。
http//case.ntu.edu.tw/hs/wordpress/?p=39270
5.      沈昭亮,秋風夜雨-話蚯蚓,談連分數〉,《數學傳播季刊27卷第2期。
http//w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=272
6.      沈昭亮,連分式與反面問題〉,《數學傳播季刊27卷第3期。
http//w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=273

7.      林聰源,數學史-古典篇》,凡異出版社,P.82.

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