數字金字塔 (數字之美！)

[輕鬆一下]：數字金字塔 (數字之美！)

(圖1)

(圖2)

(圖3)

圖片來源： TI Education

影像連結：圖1、圖2、圖3

加入 TI Education，更多有趣的數字金字塔讓您來欣賞！

其實每個數學老師對於數學專業都有一定的認知,但是在養成的過程中,對於數學本質的的認知更深入的話,就能在教學上有更好的呈現>李國偉老師說得好
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d22/2202.pdf

下圖是用36根火柴圍成的13個正方形，
你能拿掉其中的8根火柴，使它只剩下6個正方型嗎？

---

看答案(先動腦想想，再看答案，腦力才會增加喔！)

數學差，不是你的錯@《一個數學家的嘆息》

數學差，不是你的錯@《一個數學家的嘆息》

先說個我自己的真實故事吧。
我小學的時候在學校功課排名前列，主要的原因是因為我就讀的學校規模非常小，一個年級才兩班，競爭不激烈，另一個原因是我的確有點小聰明，而且蠻喜歡唸書。那年頭，學業功課好，加上比較聽老師的話，很容易就獲得其他課外表現的機會，代表班級或學校去外頭參加比賽，也因此當了好幾年的模範生，拿了個縣長獎畢業。囂張的咧。數學？對學過珠心算的我太簡單了！
但一上了國中，全都變了。我依舊很用功、大部分的科目考試成績不是滿分就是逼近滿分，但唯有數學，我連及格的一半都拿不到。「數學」，光是看到這兩個字就足以讓我產生頭昏想吐的感覺，甚至還更嚴重些，會緊張到冒汗、肚子痛。老師在黑板上用大大的三角尺跟大圓規畫的圖依舊精美，板書我能抄的都抄了，但我就是沒辦法理解這些數字跟圖形的邏輯。我慌了。
於是我開始竄改成績單、竄改考卷分數，或是跟大雄一樣，總是以考卷沒帶回家或是丟了為藉口，不讓父母簽名。雖然現在回想起來真是很傻，但當時的我真的快被數學逼瘋了，每天提心吊膽。
升上國二，狀況依舊沒變，但班導師換成了另一位在學校號稱王牌的數學老師。一天晚上，全家人都在客廳看電視的時候，電話響起，我坐在接起電話的父親對面，聽到他對話筒說「喔！老師好！」的時候，我的眼淚無法克制地決堤了。
好消息是，後來在新任班導師的細心教導之下，我的數學解題能力提升了很多，應該說，他讓我學會用我能理解的方式把答案交出來。我心知肚明，我雖然同樣考90分、100分，但跟班上數學真的好的同學比起來，我的程度還是很差。我順利考上第一志願的高中，但我完全沒有跟父母商量，就決定去唸文組。因為那種根深柢固對數學的恐懼，始終沒有離去，高中的數學對我來說更是百倍猙獰的惡魔。
於是我大學唸外語、研究所唸傳播，但也避開做量化研究。工作之後，做各式各樣的計畫，只要跟數學、算錢、預算有關，我就推掉。我生活節約，不想花錢，因為我不想算數學。但如果我花錢，我也不太在乎多少錢，有沒有打折，也不記錄開支，因為我不想算數學。我也不做任何投資理財，一切都交給家人處理。
我不知道打開這本書的你是誰。是同樣害怕數學的學生，還是正在讓學生害怕數學的老師，抑或是擔憂孩子數學成績，正在物色補習班或家教老師的父母親。如果你都不屬於這三者，而是一個非常喜歡數學的人，那麼我反而要問：怎麼可能？
這本書的英文原名是「一位數學家的嘆息」（A Mathematician’s Lament），本來也不是一本書，而是一篇2002年起開始在美國數學教師社群中流傳的文章。我看了前五頁，就覺得受震撼。而這種震撼，是一種「總算有人了解我的感覺」加上「曾經的恐懼跟傷疤又被碰觸」的綜合感受。每多讀一段，就越覺得明朗，了解自己為何當初會那麼畏懼數學。一口氣看完全書，彷彿是做了一次心理療程，把這段影響我人生選擇至巨的數學夢魘給重新詮釋了，原來數學差，並不是我的錯。
作者將數學與繪畫、音樂相比，突顯出數學教育之僵硬跟死板。原來問題就是出在我們看待這門學科的角度完全錯誤，將數學當作其他理科的基礎，要求絕對的精準跟正確，按照既定的公式，強調快速（為了考試）、強調術語（為了顯得專業）、強調一切大部分人在日常生活中根本使用不到的東西（為了培養數學家……但到底為甚麼每個人都要被培養成數學家呢？）
是甚麼讓這樣的教學結構如此穩固？是教科書跟參考書出版社、補習班產業、還是學校教育本身？看完這本書，我再次確認肯．羅賓森爵士（Sir Ken Robinson） 2006 年在TED 大會上的演說的確一點沒錯：「學校扼殺了創意」，而且是刻意為之。
因為當代的教育制度繼承自工業革命時期，所以教育的目的就是為了創造工業需要的人才，到現在也沒有改變。大量產出工業需求的一致性勞動力是學校教育的目標，因此教學方式必須要有效率、必須要全國一致。美其名是公平，實際上是奴役。如今結合了教科書業者、補習班業者，成了龐大的教育控制複合體。
數學教育特別嚴重。數學本該是供人無限想像空間的學科，因為不管思考的數學題目多麼天馬行空，多麼不切實際，都無所謂，沒有任何現實會受到傷害，除了成績單。因為害怕錯誤、對分數錙銖必較，有太多像我一樣的學生用背誦的方式學數學，靠著不斷解參考書跟考卷上的題目來磨練自己動筆的速度，但從來沒有體會過數學的樂趣，連想都沒想過數學會是有趣的。
大多數看過這本書的國外讀者都給予很高的評價，或許因為作者揭開了國王新衣的真相，但作者除了對數學教育拋出銳利無比的批判，也在書的第二部分嘗試用他覺得真正對學生有益處的教學方式與每一位讀者互動。雖然作者只給了幾個案例，但我看見了他想要帶領學生進入的數學奇妙世界是甚麼樣子，而我也好希望在我國中或是更小的時候，就能夠看見這個世界。如果你是學生，希望這本書可以讓你重拾對自己的信心。如果你是老師，請審視自己到底是在教學還是扼殺學生。如果你是家長，請理解你的孩子正在遭受折磨，而那本不該發生，也不該是他的錯。
本文為《一個數學家的嘆息》之推薦序（經濟新潮社出版）

教學資源網站-國家教育研究院教育資源及出版中心

【國家教育研究院 - 教育資源及出版中心】裏有不少具教學上應用價值的教學資源，老師們可進去參考看看

連結如下：

http://3w.naer.edu.tw/math.jsp

聖誕禮物

耶 誕 飾 品

班上同學帶來一些耶誕飾品貼在窗戶玻璃上，一個窗戶上有六片玻璃。同學帶來的飾品剛好一個窗戶貼 8 個，當佈置完教室窗戶後，同學發現一個有趣的結果： 每一個窗戶上至少有一片玻璃貼著兩個以上(包括兩個)的裝飾品。

以上事實也就是數學裡的「鴿籠原理」或「抽屜原理」。那什麼是鴿籠原理呢？其實，鴿籠原理是說：「將 n 個東西分成 m 類；若 n ≧ m + 1 則至少有一類東西的數目大於或等於2」。而這證明並不難，大家可以試試看。
　

不一樣規則下的回文

Q：仔細看看下圖中的式子，你發現了什麼？

 (圖1)

A：

將兩個數字相加之後的數"取其逆序" = 兩個數字的乘積

加數 + 被加數 = 和數 ⇔ 和數的位置順序反過來 = 被加數 × 加數 )

如果用文字符號代替數值來表示

加數 ↦ X, 被加數 ↦ Y, 和數 ↦ Z, 和數的位置順序反過來 ↦ ~Z)

X + Y = Z ⇔ ~Z = Y × X 

你還可以找到類似此性質的數字組合嗎？

題目來源：TI Education
圖片來源：圖1

各行業都需分析數據 數學系畢業生出路廣

【聯合晚報╱記者游婉琪/台北報導】 2014.04.16 03:03 pm

美國最佳職業報告顯示，數學家是收入最令人稱羨的職業，但台灣多數民眾對數學系畢業生的出路認知，似乎還停留在當數學老師。台大數學系系主任李瑩英說，國外先進國家，數學系畢業的就業機會與薪資收入比較多，尤其當大環境進步到某種程度時，各行各業都常需要高深數學能力，做龐大數據分析處理、資料加密與破解。 國內數學系畢業學生出入和收入，目前沒有精確統計，李瑩英以台大數學系為例，超過半數的學生畢業後，選擇進修統計、電機、經濟、會計等專業，有校友在藥廠從事新藥開發臨床實驗劑量統計，收入相當優渥。 包含發明自然輸入法的中央研究院資訊科學研究所特聘研究員許聞廉、開發google第一代省電伺服器引擎的科技人翟本喬，通通都是數學系出身。 只能當數學老師？誤會了 交通大學終身榮譽國家講座教授林松山說，數學系畢業後，除了到中小學教書捧鐵飯碗，財務金融、電資通訊等，都是數學系畢業生常選擇的領域。前幾天交大校慶，邀請老校友返校，發現很多投入電子資通訊行業的校友，都已經開業當老闆。還有博士畢業生到金控業，才工作沒幾年，薪水就已經高出指導教授。 林松山表示，想要賺大錢，靠的都是數目字。他舉例，股票會不會漲、期貨會不會賺，大公司要併購小公司，都得需要數學精算能力分析數據，做邏輯推理建立數學模型。若能在大學打好數學基礎，很少有人畢業後找不到好工作。 中央大學數學系主任陳建隆說，數學是基礎訓練科學，隨著科學相關行業越來越需要基礎訓練紮實的學生，數學系畢業的學生越來越受重視。尤其現在的數學系訓練不像早年只有純計算，課程涵蓋很多計算機訓練、統計訓練等，就是要培養學生蒐集資料與分析判斷能力。

請改變其中四根火柴棒的位置，使圍成的面積減少一半。

假設每根火柴棒的長度為1，用十根火柴棒做成下圖面積為6的長方形。

請改變其中四根火柴棒的位置，使圍成的面積減少一半。

（圍成的區域不能分開，像下圖把灰色移到粉色處不是正確答案喔）

---

看答案(先動腦想想，再看答案，腦力才會增加喔！)

改變世界的十個數學公式

改變世界的十個數學公式

十張尼加拉瓜發行的郵票。

　　西元1971年5月15日，尼加拉瓜發行十張郵票，表彰十個對世界發展極有影響的數學公式。

　　 另外還有很多人，也對世界文明做出貢獻，我們只要努力，對世界發展也會有幫助的哦！

阿基米德槓桿原理 Archimedes's principle 　　阿基米德說：『給我一個支點，我就可以移動地球！』，希臘國王要求他證明，他便借了一艘大船，他運用槓桿原理以及滑輪巧妙地組合機械，船載滿乘客及貨物後，阿基米德讓國王用手輕輕的拉一條繩子，大船就直線前進了。國王很是驚訝與佩服並立即宣佈：「從現在起，阿基米德說的話我們都要相信。」 　 　　阿基米德的成就，除槓桿原理外，還有著名的浮力原理─「物體在液體中的浮力等於它所排開的液體重量」。他也是傑出的數學家，著有《圓的量度》《拋物線的求積》《論螺線》《論球和圓柱》《論劈錐曲面體和球體》《數沙術》《論平板的平衡》等書。阿基米德最得意的傑作是導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的 2/3 倍，這個圖形就刻在他的墓碑上。

波茲曼關係式 Boltzmann's law 　　用牛頓力學來解釋物體內每一個分子的運動，實際上是不可能的，波茲曼用統計的觀念，只考量分子運動排列的機率，來對應到相關物理量的研究，是很難懂，但卻是很聰明的辦法，對近代物理發展非常非常重要。 　 　　波茲曼奠定了「氣體分子運動學」的基礎，他最大的貢獻是在1871年找到熵與機率之間聯繫的關係式，對熱力學上的問題，用統計的觀念來解釋，引起物理界很大的爭議，後來證實他是對的。也熱力學因而與分子動力理論結合，導致統計熱力學的誕生。另外他提出非平衡態的理論，促使統計力學的建立。 　 　　1854年德國的科學家克勞宙斯 (Clausius)首先引進了「熵（Entropy）」的概念。 　熵是表示雜亂程度的一個量。這個量在可逆過程不會變化，在不可逆過程會變大。像懶蟲的房間，若沒有人替他收拾打掃，房間只會雜亂下去，決不會自然變得整齊。 　 　　熵的變化，具體來說，等於用絕對溫度除熱量變化的商。熵是希臘語「變化」的意思。生物也離不開「熵增大的法則」，生物需要從體外吸收負的熵來抵消熵的增大。

德布羅意關係式 de Broglie's law 　　德布羅意本來是學歷史的，受數學家龐加萊的影響而改學科學。1924年他在博士論文中提出「物質波」的概念，轟動全世界，他認為任何實物、粒子都同時具有波與粒子二種性質，還運用愛因斯坦的相對論，導出物質波波長的公式。他的看法後來被戴維森的實驗証實。而物質波的概念也為波動力學的發展提供了重要的理論基礎。 　 　　當德布羅意的論文發表後，愛因斯坦驚嘆不已稱道：「瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢！他揭開了一幅大幕的一角」。 　　 也驚動了老一輩物理學家：「這些青年人認為，拋棄物理學中老的概念簡直易如反掌！」 　 　　量子力學不僅是理論物理學，也是科學哲學研究的範疇，甚至影響了我們日常生活中的一些基本假定。量子力學有三個革命性的概念。第一個就是德布羅意的波、粒二重性─在微觀世界裡，很多東西具有波動和粒子雙重的特性。第二個是說所有的物理事實都只具有或然性，而沒有必然性。與古典物理學認為事件有確實性和可決定性相反。第三個是海森堡的測不準原理─測量粒子時，我們不能同時確切地知道粒子的位置和速度。若我們測量到粒子的位置越準確，則所知的速度越不準確，反之亦然。它們推翻了人們對物理學上一些假定的認知。

愛因斯坦質能互換率 Einstein's theory 　　愛因斯坦小時候發育比較慢，三歲才開始講話，被人認為是反應遲鈍的孩子，他五歲的時候，父親給他一個羅盤，他被羅盤針永遠指同一方向的神奇性質吸引住了。他後來回憶當時的感覺是：「在真正事物的背後，必定隱含若干真理。」 　 　　1905年是愛因斯坦「神奇的一年」，26歲的他發表了四篇最富創造性的偉大論文，使他獲得博士學位、1921年諾貝爾獎、並創立狹義相對論。相對論推論的結果真是匪夷所思，令人不敢置信，可是後來都證實了。現在我們經常聽到的黑洞、時光旅行、空間彎曲等等好像是科幻名詞，可都是相對論所推導來的哦！ 　 　　令愛因斯坦最感後悔的是，在1939年他寫了一封信給美國總統羅斯福，促成原子彈的研究，因此與羅素合作，極力向世人呼籲禁止核子武器的開發和使用。

手指計算 Using fingers to count 　　小孩子對數量的認識，幾乎都是從用手指頭數數開始。人類的祖先，從數指頭開始，逐漸累積經驗，堆石子、數貝殼、樹支、竹片，而後有刻痕計數、結繩計數等，後來創造文字、數字及計數用具如算盤、籌算、計算器等，一切都從手指頭開始。嗯！可能是因為人有十隻手指，計算時以手指輔助，自然就形成了十進位的觀念吧！ 　 　　人類發明了文字以後，相對就有了數字與數碼，數字是指數的詞，如一、二、三、四、五、…、十、百、千、萬；數碼是指數的符號，如1、2、3、4、5、6、7、8、9、0（以上為阿拉伯數碼），而明清兩代盛行用數碼來表示，就寫成： 中國算籌計數：為十進位制，以下為1~9之表示法，有縱、橫兩式，交叉運用： 瑪雅數字：由中美洲的瑪雅所創造出來的一種象形文字，20以下採 5進位的累進數制，20以上用位值制： 埃及的僧侶文：出現在世界上最古老的數學書賴固德紙草書上，這是象形文字的簡化，以下為各種不同數字的表示：

馬克斯威爾電磁方程式 Maxwell's law 　　馬克斯威爾用數學式子概括一切電磁現象，並預言：1.電場及磁場的波以光速在空間傳遞，2.光為電磁波的一種。這是無線廣播的理論基礎，因此被稱為「無線電之父」。23年後，赫茲證實馬克斯威爾的預測創造出無線電波，開啟了無線電時代。這發現，也是愛因斯坦狹義相對論的重要背景。 　 　　1865年馬克斯威爾預測電磁波輻射傳播的存在，將庫倫、安培、法拉第的研究結果整理成四個電磁場理論的數學式，這個理論提供了連續性的電的流動。1887年德國科學家赫茲（Hertz） 實驗證明出電磁波。馬克斯威爾的理論將電學與磁學統合成一體。 　　 愛因斯坦：「馬克斯威爾的工作是自牛頓以來，物理學上影響最深遠與豐碩的工作。」 　　 電磁波包含有長波、無線電波、微波 、紅外線、可見光、紫外線、 X光線、 射線等。

納皮爾對數法則 Napier,logarithms 　　納皮爾原是一位蘇格蘭的修道士，業餘研究數學，他為尋求球面三角計算的簡便方法，經20年的努力，創造出對數的關念，出版了《奇妙的對數表的描述》一書。天文學家刻卜勒利用他的對數表簡化了行星軌道的複雜計算。「對數」被譽為「用縮短計算時間而使天文學家延長壽命」，也對整個科學的發展起了重要作用。 　 　　納皮爾運用對數設計了所謂的「納皮爾的骨頭」的計算器，用數字木棒的排列來計算。十年後，威廉奧特運用對數設計了稱為「計算尺」的器具，成為往後 350 年工程師都會用到的工具。 　　你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎？請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情，所有的計算，只能利用紙筆一項一項慢慢地算，此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表，簡直是匪夷所思吧！試著想像一下二十年之間，每天都在重複做同類型的繁瑣計算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的，但納皮爾熬過來了，而他的辛苦也得到了報償 對數受到了熱切的歡迎。

牛頓萬有引力定律 Newton's law 　　任何兩件物體會因質量而互相吸引，吸力大小與質量成正比，與距離的平方成反比。 　　牛頓小時候並不聰明，功課也不好，身體差、性格沉默又愛做白日夢，他的超人才智竟然是被一個野蠻的同學踢了一腳而喚醒的！牛頓決心發奮，誓言在功課上超越他，結果他不單在學校中名列前茅，18歲時便考進劍橋大學。 　 　　牛頓24歲時，倫敦發生流行病，他便返回故鄉，在一年半的時間裏有了三個非凡的創見，發明「微積分」，發現「萬有引力」，發現「光分七色」。1681年出版《自然哲學的數學原理》，總結出萬有引力定律，並提出三大運動定律，建立了古典力學的基本體系，被譽為最偉大的科學著作。牛頓十分謙虛，他說：「如果我看得比較遠，是因為我站在巨人的肩上。」 　 　　有人說，沒有哈雷，就沒有《自然哲學的數學原理》這本改變歷史的書，這話一點也不假。哈雷想盡辦法、好說歹說才讓牛頓同意寫書，皇家學會也同意出版，卻因瀕臨破產無法印刷，哈雷於是自掏腰包，所有出版庶務都一手包辦，和印刷商周旋、校訂、驗算數據和審圖。靠哈雷的鼓勵與努力《自然哲學的數學原理》一書才有機會呈現在世人眼前。

畢達哥拉斯畢式定理 Pyhthagorean theorem 　　這個定理中國和巴比倫人早在畢氏之前一千年就在使用，但仍被稱為「畢氏定理」，主要是因為畢氏證明了定理的普遍性。據說在證明成功的當天，畢氏叫學生們宰殺了一百頭牛，舉行盛大的宴會來慶賀。所以，畢氏定理又有「百牛大祭」的美稱。 　   　　若正方形的邊長為１，對角線的長度不能用分數來表示。整數構成的分數是有理數，不能寫作整數與整數比的數稱為無理數。無理數的存在是畢氏學派首先發現，也是數學史上重要的里程碑。 　　你知道嗎？歷史上關於畢氏定理的證明，超過四百種方法喔！   　　三國時代的數學家趙爽注釋「周髀算經」時給的證明： 「弦實」：以弦為邊的大正方形面積 「朱實」：四個直角三角形的面積和 「黃實」：中間圍起來的小方塊面積 「弦實」－「朱實」－「黃實」 　　數學家劉徽的證明，叫做「出入相補法」： 簡單的說，就是剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)， 移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

希歐考夫斯基火箭公式 Tsiolkovski's law 　　希歐考夫斯基是自學成功的，他本來是中學教師，有一次在教室裏向學生大談天象奧秘，引起一位參觀的物理學家的注意，從此天才被發掘，引導俄國科學界放眼太空。後來，他對一群科學家說，只要大家努力，俄人將第一個走出地球，他的話成為事實，他也被稱為俄國火箭之父。 　 　　1895年他在科幻著作《地球與天空的夢想》中提出了用多節、液態火箭來脫離地球的想法。1903年在論文中說明將火箭用於星際交通的可能性，並提出太空航行火箭的設計原理。1957年他的夢想成真。 　 　　1957年蘇聯發射第一顆人造衛星，揭開太空時代的序幕，1961年送出第一位太空人─蓋加林，贏了太空競賽的第一役，美國在1969年送阿姆斯壯踏上月球，扳回一城。 　 　　他著重鑽研中國古代火箭技術，請人翻譯明末及清初的軍事著作參考，尤其對《武備志》最感興趣。當時中國已擁有近三十種軍用火箭，“神機火龍箭”或“火龍出水”之類的武器令他著迷，他產生了更多的夢想和靈感，不久寫成《地球與天空的夢想》一書。