曾花7年破解世紀難題 牛津教授獲數學界諾貝爾獎

Kayue  TNL 香港編輯

諾貝爾獎中並不包括數學獎，但數學界有兩個大獎普遍被視為「數學界諾貝爾獎」，分別是每4年頒發一次，只授予40歲以下數學家的菲爾茲獎（Fields Medal）以及每年頒發的阿貝爾獎（Abel Prize）。今年阿貝爾獎得主，是曾經花7年時間證明費馬最後定理的懷爾斯（Andrew Wiles）。在懷爾斯於1994年交出完整證明前，數學家已花費近360年嘗試證明該定理。雖然證明本身非常複雜，甚至被數學家康威（John Conway）稱作「世紀證明」，但定理的內容卻是小學生也能明白。事實上，懷爾斯第一次接觸費馬最後定理時才不過10歲。當時他在放學回家的路上進了圖書館，然後讀到一本提及該定理的書，並驚訝那麼容易明白的猜想卻未有人能夠證明。當時他立志要證明費馬最後定理，後來發現自己知識有限後放棄，直至他33歲。

 

無人見過的「絕妙證明」

相信讀者都曾經在中學見過畢氏定理（古代中國稱為勾股定理）︰ 在古代，巴比倫、希臘、中國及印度的數學家都發現，符合畢氏定理的整數有無限組，例如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)……這代表我們能夠畫製無限多個邊長為整數的直角三角形。1637年當數學家費馬（Pierre de Fermat）閱讀古希臘數學家丟番圖（Diophantus of Alexandria）的《算術》時，剛好讀到丟番圖解說如何把一個平方數寫成兩個有理數之和（有理數是指可以寫成分數的數字），書中例子是把16 (=42)分拆成(16/5)2+(12/5)2。

費馬認為，對於任何立方數、4次方以至更高的次方，都不可能類似地分拆。以符號來說，就是對於任何大過2的整數n，我們均無法找到整數 x, y, z，使得 xn + yn = zn。費馬在他那本《算術》的頁邊寫道︰「我發現了一個絕妙的證明，但這個頁邊太窄，寫不下」。

最後一個猜想

然而後人在整理費馬的遺稿時，未有發現他所指的「絕妙證明」，其眉批成為數學界懸而未決的猜想。終其一生，費馬曾有很多斷言未提供證明（或已經遺失），但當中不少斷言被後來的數學家證明為真，除了上述那個。這個猜想因此被稱為「費馬最後定理」或「費馬大定理」，成為不少數學家嘗試攻克的難題。費馬本身有另一個證明，可以推論出n=4時其猜想成立，餘下來就只需要證明，當n是任何大於2的質數p，費馬的猜想成立（原因可參考維基百科）。猜想出現後兩世紀，數學界仍只能證明多三個特例︰當n是3、5或7時猜想成立。而在19世紀，數學家熱爾曼（Sophie Germain）及庫默爾（Ernst Kummer）分別證明了猜想對於某類質數成立，然而無法推廣至所有質數。在20世紀，有數學家推廣庫默爾的證明至2521以下的質數，其後又有人推廣至12萬5千以下的質數。直到1993年時，數學界已經知道費馬的猜想對於400萬以下的質數皆成立。 

另一個猜想

不過質數有無限多個，即使用電腦驗證至10億、10兆甚至更大的數字時猜想成立，數學界仍不會視猜想已被證明。1993年6月21日至23日，懷爾斯在劍橋大學的牛頓研究所用上三天時間，向數學界解說他對「谷山—志村猜想」的證明，這個猜想的名字來自兩位日本數學家谷山豐和志村五郎。兩人於1957年提出猜想，把模形式（modular form）及有理數域上的橢圓曲線拉上關係。1986年，數學家弗雷（Gerhard Frey）證明，假如費馬的猜想不成立——也就是說我們可以找到4個整數 x,y,z,n 使得 xn + yn = zn（當中的n大於2）——這個反例可以用來證明谷山—志村猜想同樣不成立。反過來說就是，假如谷山—志村猜想成立，則費馬猜想成立。弗雷的推論還需要一條定理，在同一年被證明成立。 

完成習題

懷爾斯得悉此事後，便決定要證明谷山—志村猜想。懷爾斯曾憶述他在10歲時讀到的那本數學書中，作者居然叫讀者把費馬最後定理當作習題。恐怕作者也不曾料到，真的有讀者能把這道「習題」完成。當懷爾斯決定要證明谷山—志村猜想後，用了7年時間孤軍作戰，而外界一直沒有人知道他正挑戰這道世紀難題。直到1993年他要向數學界解說證明前，才有傳言指他已經證明谷山—志村猜想。懷爾斯解說的最後一日，房間內坐滿了人。「我想，我會在這兒結束。」懷爾斯的演講就此完結，他的證明成為了數學界頭等大事，甚至上了《紐約時報》。 

填補漏洞

接下來懷爾斯把論文寫好，寄去期刊讓同行審查。然而期間評審發現了證明中有一個漏洞，懷爾斯無法補好的漏洞。雖然懷爾斯大部份的結果不受影響——證明的其他部份仍然非常重要及創新——但這個漏洞會使他未能證明谷山—志村猜想。懷爾斯找來他以前的學生泰勒（Richard Taylor），兩人花了一年時間嘗試解決這個問題。1994年9月14日，懷爾斯突然想到他以前放棄過的一個方法，經修改後可以解決證明中的漏洞。同年10月，他寄出兩份論文手稿，其中一份跟泰勒合著，修補了原本的漏洞。論文通過審查並於1995年5月刊出，現時數學界普遍接受懷爾斯的證明成立。由於他用上大量現代數學的工具，才能證明這個三百多年的猜想，一般認為費馬的「絕妙證明」根本不存在。 

獲頒阿貝爾獎

1998年的國際數學家大會上，懷爾斯獲頒發一個特別獎。菲爾茲獎也是在每4年一度的大會開幕禮中頒發，由於懷爾斯在完成證明時已超過40歲，因此無法獲獎。懷爾斯證明費馬最後定理的工作得到廣泛肯定，獲頒多個大獎，包括費馬獎、沃爾夫獎（Wolf Prize）及邵逸夫獎等。是次懷爾斯獲頒發的阿貝爾獎，由挪威政府在2002年挪威數學家阿貝爾（Niels Henrik Abel）誕生200周年時設立，授予的數學家均須對數學界有非凡深度及影響力之貢獻。負責頒發獎項的挪威科學與文學院於表示，懷爾斯獲獎是因為他對費馬最後定理令人驚嘆的證明，而該證明讓數論進入了新時代。新聞稿指懷爾斯是少數——如非唯一——證明數學定理能上國際報章頭版的數學家。委員會認為在數學史上，很少數學結果能像費馬最後定理般有如此豐富的歷史，以及戲劇性的證明。

頒獎禮在5月24日於奧斯陸舉行，屆時懷爾斯會得到600萬挪威克朗（約60萬歐元或70萬美元）。對費馬最後定理有興趣的讀者，可以參考賽門.辛（Simon Singh）所著的《費瑪最後定理》。BBC的《地平線》（Horizon）系列，亦有一套講述這定理的記錄片《Fermat's Last Theorem》。