台中市國中數學領域輔導團

以四年級數學問題探討學生數學迷思概念

參加類別：教育專業經驗分享類

作者姓名：陳俊次、王美玲、彭淑珍、謝佳雯

服務機關：興雅國小

摘要

從小我們就利用我們的手指來數數，數學自此開始就與我們結下不解之緣，日後舉凡日常生活中的買賣、時間、平面或立體的圖形等都離不開數學。從小學開始，在有系統的教導下，我們經由不斷的學習、錯誤、訂正、再學習的歷程，漸漸了解數學是怎麼一回事。但很多時候，我們是知其然，卻不知其所然，學會了計算及解題的方法，但不甚了解其中所隱藏的意涵。或許我們很幸運的從錯誤中摸索出其中隱藏的意涵，但有許多孩子卻在這過程中跌倒，從此一蹶不振，放棄再次嘗試錯誤，再次學習的機會，繼而放棄了數學整片美好的世界。因此，從實際教學經驗中去發現孩子容易產生的迷思概念及錯誤類型，進而協助孩子克服困難，引導他們從錯誤中站起來，給予鼓勵及信心是從事數學教學教師一項重大的任務。期許透過行動研究，孩子能有更堅定的步伐邁向數學的康莊大道，於教學現場辛苦教學的老師們，也能更勝任於教學工作。

　　關鍵字：整數四則、分數、小數。

臺北市信義區興雅國民小學九十八學年度行動研究—以四年級數學問題探討學生數學迷思概念

製作團隊：四年級群組

學習數學的重要性

    數學是現今國民教育中的基礎學科，數學不僅是人類文化裡的重要資產，更是人類天賦本能的延伸。而在數學的教學過程中，應讓學生了解數學是國民素質提升的重要指標，以及推進人類文明的要素，更進一步了解數學具有基礎科學的工具性特質。本學年就四年級學生教材及學生學習狀況做探討，以本年度四年級上學期期末評量為範本分別做整數四則、分數、小數及面積概念作分析討論。

整數四則部分

一、教材分析--整數四則

    在九年一貫能力指標中，整數四則的學習階段在四年級，要達到的能力指標為：

4-n-03 能在具體情境中，解決兩步驟的問題，並學習倂式的記法（包括連乘、

       連除、乘除混合）

4-n-04 能作整數四則的運算（兩步驟）

    以本校選用的版本--南一版為例，該版本設定的學習目標為：

（一）、解決生活情境中整數四則的兩步驟問題

（二）、將生活情境中兩步驟的整數四則問題用併式記錄

（三）、了解整數四則混合計算時，併式的約定

二、文獻探討

依據謝堅「實驗課程對四則運算教材的處理」一文，學習四則運算容易衍生下列問題：

（一）學童誤以為「將多個算式的解題記錄，簡化為一個併式」是很重要的數學問題

（二）學童誤以為四則混合計算題，只是單純的計算問題

（三）學童誤以為數學與日常生活無關

（四）學童誤以為乘、除法是比加、減法更高級的運算

（五）學童產生反民主的權威崇拜（知其然，不知其所然）

（六）學童誤以為學習經熟建立在記憶上，而非解題活動的內蘊化

（七）學童誤以為數學只是模仿的科學

（八）學童誤以為等號的意義只是「得到的答案是」或「結果的數值是」，而不是「等價關係」

三、錯誤類別分析與迷思概念

（一）計算題分析

全卷在整數四則運算在計算題方面，錯誤率最低的題目是「題目一480÷（33＋27）」與「題目二352÷8×3」。「題目一480÷（33＋27）」錯誤率6.3％，「題目二352÷8×3」錯誤率4.81％。

錯誤率最高的題目是「題目三18×（27＋320÷64）」與「題目四1000－300÷5×3」。「題目三18×（27＋320÷64）」錯誤率13.7％，「題目四1000－300÷5×3」錯誤率17.41％。

試分析題目一與題目二錯誤率偏少的原因：

1.經由課堂上的學習，學生已經知道四則運算約定俗成的算法—由左而右、括號先算、先乘除後加減。例如：題目一480÷（33＋27），學生幾乎都知道先算括號裡「33＋27＝60」，再算「480÷60＝8」；題目二352÷8×3，學生也幾乎都知道先算左邊的「352÷8＝44」，再算「44×3＝132」。

2.題目是四則運算裡最基本的題型--兩步驟的併式。題目一只要算「33＋27＝60」、「480÷60＝8」這兩個步驟；題目二只要算「352÷8＝44」、「44×3＝132」這兩個步驟，步驟少也比較不容易有粗心及計算錯誤的問題。

3.題目只有三位數以下的計算。四年級的學生已具備四位數的計算能力，三位數以下的計算相對的比較能駕輕就熟。

    試分析題目三與題目四錯誤率偏高的原因：

1.步驟變多，導致影響先乘除後加減及由左而右的判斷能力。例如：題目四1000－300÷5×3，學生要先算「300÷5＝60」，再算「60×3＝180」，最後算「1000－180＝820」。但部分學生因為題目較長、步驟較多，導致影響判斷，產生下列兩種錯誤的算法：

(1)先算「1000－300＝700」，再算「700÷5＝140」，最後算「140×3＝420」。

(2)先算「300÷5＝60」，再算「1000－60＝940」，最後算「940×3＝2820」。

(3)先算「5×3＝15」，再算「300÷15＝20」，最後算「1000－20＝980」。此一類型較不容易發生在題目三，因為學生都知道先算括號裡的「27＋320÷64」，接著括號裡的算式如果先算「27＋320＝347」，再算「347÷64」，則對四年級的學生已經歷過的學習歷程而言，無法得知結果。

2.步驟變多，導致計算過程拉長，計算錯誤率相對提高，甚至放棄不做。例如：題目四1000－300÷5×3，學生在算「300÷5」時，商的十位計算出來是6，此時被除數已經沒有餘數可除，部分學生忘了在商的個位填0，導致計算「300÷5」的計算結果成了6，而不是正確的「60」，進而影響接下來的計算結果。

（二）比比看，填入＞、＜或＝分析

比比看這一大題屬於整數四則運算的題目只有37×（48－25）（ ）23×（24＋13），錯誤率達17.41％，比例不算低，探究其原因，大致可以分為下面三種：

1.學生只有比較左邊算式裡的「37」和右邊算式裡的「23」，沒有進一步算出算式後半段括號裡的數應該是多少。因此學生直接填「＞」，而不是正確答案「＝」。

2.學生誤將右邊算式括號裡的「24＋13」看成「24－13」，導致右邊的算式算出來是「23×（24－13）＝23×11＝253」，而左邊算式算出來的結果「37×（48－25）＝37×23＝851」。所以學生填「＞」，而不是正確的答案「＝」。

3.學生利用土法練方的方式將左右兩邊的算式分別算出來，但兩邊的算式各自獨立計算，加上計算的過程有誤，導致算出來的結果不一樣。試探就出題教師出此題目的用意，應在評量學生是否了解乘號（×）兩邊數字有可以互移的特性，並不是希望學生要將兩邊算式的答案算出來。至此，這一類型錯誤的學生還可分成兩種類型：

(1)不了解乘號（×）兩邊數字有可以互移的特性

(2)雖了解乘號（×）兩邊數字有可以互移的特性，但急於將兩邊算式的答案算出來，因而忽略這個特性，再加上計算上的失誤，導致答錯的情況發生。

（三）應用題分析

本卷的應用題在整數四則運算方面有兩題，分別是：

【題目一】3個娃娃賣180元，凱欣帶了1000元，要買8個娃娃，可找回多少元？把做法用一個算式記下來。

【題目二】果農採收了1053個柳丁，丟掉壞掉的73個後，剩下的每28個裝1箱，共可裝成幾箱？把做法用有括號算式記下來。

題目二的難度比題目一的難度稍高，因此題目二的錯誤率為15.19％，比題目一的錯誤率12.59％稍高。

試將「題目一」的錯誤原因分析於下：

1.沒看完題目或是沒注意到題目附註的條件（把做法用一個算式記下來）就進行作答。

2.辛苦計算完後卻忘了寫答案。

3.看不懂題意，直接放棄不做。

4.不甚了解題意，不曉得題目裡的180元是由3個娃娃組成的價錢，以為是1個娃娃的價錢，所以將算式寫成「1000－180×8」。但後面的「180×8＝1440」比「前面的1000」大，依四年級學生的學習歷程來看，將無法算出答案。因此學生逕自將「1000－180×8」改成「180×8－1000」，算出來的答案自然不是正確的答案。

5.步驟較多，導致影響先乘除後加減及由左而右的判斷能力。例如：某些學生有辦法將算式列成「1000－180÷3×8」，接下來學生也知道先算「180÷3」。但算式進行到「1000－60×8」時，學生卻先做「1000－60」再「×8」，而不是先算「60×8」再用1000去減，導致最後算出來的答案為「7520」，而不是正確的答案「520」。

6.了解題意，也有辦法列出一個算式，純粹因為計算錯誤。

接著，我們試著分析「題目二」錯誤的原因：

1.沒看完題目或是沒注意到題目附註的條件（把做法用有括號的算式記下來）就進行作答。

2.看不懂題意，直接放棄不做。

3.辛苦計算完而且算對，寫答案時卻寫錯了。例如：有算出來的答案是正確的「35」，寫答案時卻寫成「A：25箱」。

4.看得懂題意，也懂得列出正確的算式，但因作答速度太慢，算到一半時鐘聲大作（考試時間結束），導致沒有算完而徒留遺憾。

（四）選擇題分析

本卷的選擇題在整數四則運算方面有兩題，分別是：

【題目一】下面哪一個算式，去掉括號後答案不變？1658－（435－37）2422－（123＋41）3688＋（254＋236）4857÷（339－139）

【題目二】小明發現算式「24÷8－2＝4」中有錯誤，請問在何處加上（ ），才能讓算式合理？1（24÷8）－2＝4224÷（8－2）＝43小明看錯了，題目沒問題4以上皆非

題目一的難度比題目二稍高，所以題目一的錯誤率20.37％比題目二的錯誤率10％高出兩倍。

試將「題目一」的錯誤原因分析於下：

1.部分學生向來覺得選擇題應該用判斷的方法即可判斷出答案，但依學生目前的學習歷程來看，學生目前沒學過去括號的四則運算算法，因此沒辦法用判斷的方法即可知道答案

試將題目二的錯誤原因分析於下：

1.正確的答案是2，但大部分錯誤的學生都選1，原因在於學生對整數四則運算裡括號的使用不甚清楚，題目裡的「24÷8－2」本來就應該先算「24÷8」，如果選答案1，則成了「（24÷8）－2＝」，還是得要先算「24÷8」，與題目裡的錯誤算式無異。

2.少部分學生答案選3、4，此一類型的學生大致上想盡快將考卷做完，因此不假思索選了這兩個答案，而不去思考答案1、2的可能性。

分數部分

一、教材分析—分數
前備經驗：
    學生在三年級已經學習了在具體情境中，初步認識分數。能解決同分母的大小比較與加減問題。

    在九年一貫能力指標中，分數的學習階段在四年級，要達到的能力指標為：

N-2-07  能理解分數之「整數相除」的意涵。

4-n-07  能認識帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減、與非帶分數的整數倍的計算。

二、文獻探討

依據呂玉琴「數與計算教材設計對分數概念的處理」一文，分數教材設計的三個最主要因素為：

（一）分數的意義

（二）單位分數的內容
（三）分數與有理數的差異

    教師在教學應注意的事項為：
（一）具體物的使用：再進行分數教學活動時，常常需要使用具體物，在使用時應該要注意：

   1教師宜先製作教育，以免分割的技術問題干擾學生學習。
   2在進行分數合成、分解活動前，應與學生建立具體物意義的共識。
   3教師、學生可能操作不同的具體物。如：方瓦、積木。
   4在不同活動，我們使用白色積木的不同性質來進行活動。如：長度、
面積。
   5因為要方便透過操作具體物或圖是來協助解體，因此教學活動限制分母不大於十二，而單位分數所指示的內容以不多餘4各為原則。

（二）命名活動：讓學生進行命名活動：「分割活動」、「平分成幾份」、「取出幾份合起來」

（三）寫數活動
（四）做數活動
（五）同分母分數的合成、分解活動：建議假分數的合成、分解活動的流程如下

1先澄清單位分數數詞的意義
2用真分數或小於2的假分數數詞布題
3學生嘗試解題
4要求學生以分數算式摘要記錄解題活動與結果

    建議帶分數的合成、分解活動中。希望學生能併用「整數的合成、分解」與「以單位分數為被計數單位的合成、分解等策略來解題」。

（六）真分數的整數倍問題：建議真分數的整數倍問題的教學流程如下：

1先澄清單位分數數詞的意義
2學生嘗試解題

3要求學生以有分數的算式摘要紀錄解題過程
4用「倍」的方式說明解題活動
5用有「×」號的分數算式記錄解題活動

三、錯誤類別分析與迷思概念
        本統計以九十八學年度期末評量做為範本分析，分數在各項中出現頻率為： 

題       型	出現次數/總題數	佔分/配分
（一）計算題	2題/10題	4/20
（二）算算看	4題/8題	8/16
（三）填充題	4格/30格	4/30
（四）比比看	2題/6題	2/6
（五）看圖做做看	無	0/8
（六）應用題部分	2題/5題	8/20

    整張考卷中，100分佔了26分，比例不少，幾乎每種題型都有分數的試題，應用題部分便佔了兩題，可知道分數在學生的學習當中非常重要。

    其中以「比比看」題目一「8個（ ）」，錯誤率最低，錯誤率為0.33％；另外，以「填充題」題目十四「有一個長方形的小陽台，長公尺，寬3公尺。這個陽台的周長是（）公尺，這個陽台的面積是（）平方公尺。」錯誤率最高，錯誤率為45％。以下就各題錯誤率及錯誤的原因可能進行探究。

（一）選擇題分析

1.題目：的3倍是多少？

錯誤率：17％

迷思概念：

（1）    分母、分子都乘以3

（2）    看錯答案

（3）    不瞭解分數的倍數問題

2.題目：兩個分數相加，所得的和是1，這兩個一定是哪種分數？

錯誤率：27.6％

迷思概念：

（1）    不瞭解題意，對於「所得的和」對於文字敘述不大能理解。

（2）    不懂完整1的概念。

（二）算算看分析

1. 題目： 7—（  ）＝5

錯誤率：2.3％

在課堂上學習分數，針對同分母分數的加、減練習，學生已經達經熟學習的程度，錯誤率較少。題目可就整數的部分相減、分子的部分相減，完全不需要換成假分數計算或向整數借1，

2. 題目：14－5+2

錯誤率：18％

迷思概念：

（1）    計算過程中，學生往往計算前兩個數，但忘記計算2。

（2）    先算5+2＝8，再用14—8去計算答案。忘記四則運算式是由左而右。而此部分的分數，學生在學習過程中都是接觸兩個分數相加或相減的題目，未出現三個分數相加減，因此錯誤率較高。

3. 題目： ×9

錯誤率：4.6％

迷思概念：

（1）計算過程錯誤，再算出答案為假分數後，要轉換成整數時，計算錯誤。

此題在學生精熟練習下，大部分的學生都會計算，因此錯誤率較少。

4. 題目：2－

錯誤率：6.6％

迷思概念：

（1）    學生先將被減數帶分數轉換成假分數，在轉換的過程中計算錯誤。

（2）    學生將帶分數轉換成假分數，計算完畢後，再將假分數轉換成帶分數的過程中出錯。

此題在學生精熟練習下，只有少部分學生計算錯誤。

（三）填充題

1. 題目：1包水餃有40個，每人分得包，5人共分得（  ）包。

錯誤率：20.6％

迷思概念：

（1）    對於一個單位量（1包）與一個量（40個）分辨不清楚，而導致錯誤。

（2）    對於分母所代表的意義仍不瞭解，因此在計算×5，會得出的答案。

2. 題目：3是由（  ）個合起來的。

錯誤率：12.7％

迷思概念：

（1）    學生在將3化成假分數時，想成5×7，或是想成因而錯算。（可能算到頭昏腦脹了！）

（2）    在審題的過程中未看清楚題意。在換算成假分數後，直接將寫上去，忘記考慮是幾個合起來的。

3. 題目：有一個長方形的小陽台，長公尺，寬3公尺。這個陽台的周長是（  ）公尺，這個陽台的面積是（  ）平方公尺。

錯誤率：45％

迷思概念：

（1）此題結合了分數的加減、假分數換算成帶分數、分數的整數倍以及面積、周長的概念。在這麼多的概念之下，學生可能要先瞭解面積、周長的公式，再計算，而且計算過程不能出錯。不論前面哪一個概念都是本學期所要教會學生的重點，因此在靈活運用下，學生對於邊長是分數的認知，要正確求出周長及面積仍較難想像。

（2）在計算周長過程中，學生要先知道長方形周長等於(長+寬) ×2的認知。先將+3＝＝6先計算出再乘以2。許多學生在算到時，便很開心的將答案寫上。

（3）也有學生在6×2的過程中計算錯誤。

（4）有的學生在算完長加寬後，便把答案寫上。

（5）在計算面積的過程中，學生要先知道長方形面積= 長乘以寬。瞭解以後，將算式寫出：×3＝。部分學生算到這裡時，便將69寫上空格中，忘記分母的存在。
（6）此為填充題題型，無過程，無法得知學生記錯誤類型，只能依答案去做推測。

（四）比比看，填入＜＞或＝

1.題目：8個（  ）

錯誤率：0.3％

    在精熟學習的效果下，大部分的學生都瞭解也學會分數的基本概念。

2.題目：（ ）

錯誤率：33％

        在四年級的教材中，課本上藉由做做看、畫畫看做異分母分數的比較。因此當單獨提出分數做比較時，學生沒有圖形的輔助幫助思考，很難判斷分數的大小，因此錯誤率較高。

（五）看圖做做看：無分數題型。

（六）應用題

1.題目：如卿有6張圖畫紙，做勞作用去一些，還剩下張，請問如卿做勞作用去幾張圖畫紙？先用算式填充題記錄問題，再算算看。

錯誤率：17.7％

迷思概念：

（1）    學生沒有用算式填充題回答問題。

（2）    學生將算式填充題寫出，在計算過程當中，對於假分數（）轉換成帶分數計算錯誤，或是帶分數（6）轉換成假分數計算錯誤。

2.題目：5瓶鮮奶重2公斤，1瓶鮮奶重幾公斤？3瓶鮮奶重幾公斤？

錯誤率：30.3％

迷思概念：

（1）    以分數表示除法的結果，知道1瓶鮮奶的重量。而許多學生在這裡分不清楚是5÷2 或是2÷5，表示學生對於讀題的技巧及分母的定義仍未掌握確切。學生對於等分除及包含除的意義無法理解清楚。大部分的題意都是等分除的句型，如：一個披薩平分給4個人 這種敘述，因此許多學生對於〝5瓶重2公斤〞，自然的就會以〝5÷2〞來計算。這也是本題錯誤率以分數而言較高的原因。

    從上述看來，學生對於分數的基本題型，大部分學生都能掌握。而對於應用於其他概念的題目，錯誤率仍偏高。顯示出四年級的學生學習分數仍然需要實體教具及多一些的操作活動來認識分數及整體1的概念。

小數部分

小數

一、                文獻探討

（一）        小數的內涵

小數（Decimal fraction）是分數的另一種記法，要從分數的概念複習以瞭解小數的意義。小數的知識可分為小數的概念、小數的計算及小數的應用三方面，要學好小數三者缺一不可；其中，小數的概念尤其重要(劉曼麗，2003)。小數是一複雜又重要的概念，因為它包含了分數「部分與整體的關係」及整數的「位值概念」（劉曼麗，1998），小數的學習在課程內雖佔了相當重要的部分，但是國小學童在小數方面的學習卻似乎不理想，因為小數概念對國小學生而言是非常抽象和複雜的，以至於學生在學習上時常遭遇困難。

（二）        小數常見的迷思

梁蕙珍曾研究過四上康軒版的小數，她將小數的學習內容分為小數的意義（小數與分數的雙向連結、圖像表徵）、小數符號（寫、讀、位值、位名）、小數化聚以及小數比大小，在診斷教學後發現學生的迷思概念有以下幾項：

1.小數意義

（1） 小數與分數的雙向連結：0.a=a/a或a.b=a/b或b/a

（2） 小數連續量表徵：在百格板等分活動中，學生會把一百等分割後的小單位視為0.1

（3） 0.01公尺＝1毫米

（4） 在數線等分割活動中，學生會將十等分割後的小單位視為0.1，而未察覺被分割的單位是否為1（應是0.01）

（5） 在數線斷的等分活動中，學生還會有忽略起點的情形

（6） 忽略單位小數0.1的內容物個數，而將0.a視為a小個

（7） 忽略單位小數0.01內容物個數，將0.0a視為a小個

     2.小數符號

       （1）將非整數部分套用小數讀法

       （2）0.a中，a的位名是個位，0的位名是十位

     3.小數化聚

       （1）0.a是a個0.01

     4.小數比大小

       （1）小數是比1小的數

       （2）在學過一、二位小數比大小之後，有些學生仍會以分整數部分的位數多寡來判斷數值大小

然而梁蕙珍又發現，在紙筆測驗後學生還存有有以下迷思概念：

1.      忽略內容物個數，認為a.b個或a.0b個就是a個和b小個

2.      忽略數線斷的起點並非0

3.      將小數點左邊的整數部分，只讀出數字，不讀出位名

4.      將整數的位名套用在小數的位名上

5.      將整數的位值套用在小數的位值上

6.      以去掉小數點後的數，當作小單位的個數，如果1.2就是12個0.01

7.      忽略分子205中的0，將205/100化成小數2.5

（三）教材分析

     本校學生三年級學習過南一版三下第三單元小數，已經認識一位小數，且能比較小數的大小，

並做加、減，本研究採用教材為南一版四下數學第十單元小數，分析其學習目標如下：

目標名	序號	內    容
能力指標	N-2-10	能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍 的的計算，並解決生活中的問題。
分年細目	4-n-09	能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並做比較。

二、錯誤類別分析與迷思概念

（一）選擇題部分

題1.

題型/題號	試  題  內  容
選擇題/第四題	兩個小數比較時，先比較小數的整數部分，如果整數部位一樣大時，再比較①千分位 ②百分位 ③十分位 ④個位。
錯誤率(%)	18.3333
試題分析	大小比較必須配合位值觀念，因此學生必須能認識位值，才能依序由高位往下比較。

本題錯誤約為18.33%，錯誤率不高，學生大多知道小數在比大小時，若有整數應該由數量較大的整數開始做比較，再依十分位、百分位、千分位位值做比較；筆者發現本題錯誤主要是偏在②或③，應該是學生沒有把題目讀清，試分析原因如下：

(1)   錯誤的答案集中在②，應該是把「兩個」小數讀為「兩位」小數，因此選百分位。

(2)   少數錯誤的答案選④，可能是不瞭解整數的意義，以致認為先要從位值較高的個位數開始比較。

題2.

題型/題號	試  題  內  容
選擇題/第七題	5個0.1和28個0.01合起來是多少？①5.28 ②0.078 ③0.78 ④7.8。
錯誤率(%)	13.6667
答題分析	以0.1和0.01為計數單位，能做兩位小數的換算。

    本題錯誤約為13.67%，錯誤率不高，解題時學生必須要能判斷0.1=0.10，亦即0.5=0.50，否則難以進行兩位小數的化聚，分析錯誤原因如下：

(1)    錯誤的答案集中在①學生可能將0.5視為5，亦即將整數的位值套用在小數的位值上，或因為不瞭解整數與小數的關係而導致錯誤。

(2)   少數錯誤的答案選②，應該是先在選項②看到兩數的和78，沒有把答案看完就填寫②，或沒有仔細看位值，或將0.a視為a個0.01。

（二）填充題部分

題1.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第三題	90.157的千分位是(     )，十位是(      )。
錯誤率(%)	(1)15 (2)35.3333
答題分析	認識小數的位名-千分位。

    此題分兩個選項，第一小題的錯誤率為15%，第二小題錯誤率則飆高為35%。第一題錯誤率較低，表示大多數的學生都依據位名來判斷小數，只有少部分學生在讀數時，小數點後會當作整數來讀；第二題錯誤率較高，是因為有陷阱存在，學生以為本題應該是要判讀小數點後的位名，而未仔細看清題目，事實上要判讀的位名是十位而非十分位。

題2.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第五題	用小數填填看： ⑴70公分＝（      ）公尺。 ⑵10公尺8公分＝（      ）公尺。 ⑶600公尺＝（      ）公里。 ⑷220毫公升＝（      ）公升。 ⑸907公克＝（      ）公斤。
錯誤率(%)	(1) 12.3333 (2) 23.3333 (3) 9.66667 (4)11 (5)10
答題分析	進行公尺和公分、公升和豪公升、公尺和公里以及公斤和公克之間的單位換算。

大多數的學生都可以在這大題得分，公分、公尺的換算錯誤率稍偏高，公尺和公里、毫公升和公升、公克和公斤都在10%左右。

探究第二小題犯錯率稍高的原因應該是：當公尺公分同時存在於題目中要做轉換時，學生會誤認為小數點前的數是公尺〔10公尺8公分＝（10.8）公尺〕，（即使前一題單一出現公分做轉換時沒有問題），小數點後的數是公分（複名數轉為單名數），亦即無法判斷兩者的關係。

此外筆者發現，答錯的學生會將第⑶題答為600公尺＝（0.006或0.06）公里和第⑷題答為220毫公升＝（0.022）公升，雖然學生知道該做轉換，但是不知道公尺和公里之間的關係，但是他們的答不會低於千分位。

題3.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第六題	3.198→3.2→（　　）→（　　）→3.206→（　　）→3.21。
錯誤率(%)	(1)7 (2)8.33333 (3)8.33333
答題分析	透過小數累加的活動，建立三位小數的數詞序列，並加以記錄；同時也進行0.01=0.010的進位活動。

此題的錯誤率平均為8％，大多學生能完成三位小數的累加序列，因為填空的格數較多，學生偶而會出現加一或因為最後一個位數是兩位小數的關係，而產生混淆，將前一個位數的零省掉變成3.206→（3.28）→3.21，若沒有做確實的檢查，很容易就造成錯誤。

題4.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第八題	586個0.001合起來是（         ）
錯誤率(%)	2.66667
答題分析	進行三位小數的換算。

此題的錯誤率平均為2.67％，只有極少數的人不能判讀。

題5.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第九題	「12.65」公斤是記了﹙　　﹚個1公斤和﹙　　﹚個0.01公斤。
錯誤率(%)	(1)9.66667 (2)15
答題分析	進行兩位小數的換算。

此題的錯誤率平均為10％左右，錯誤主要有兩種：

（1）因為不瞭解題意，或因粗心或緊張而未讀清題意，將1公斤認識只填寫個位數2而忽略十位，0.01為只填寫百分位的5而忽略十分位。

（2）將第二小題0.01誤判為0.001而填寫650個0.01公斤。

題6.

題型/題號	試  題  內  容
填充題/第十五題	請由大到小依序排列以下的數：13.6、13.569、13.81 答：（　  　）＞（ 　 　）＞（ 　 　）。
錯誤率(%)	(1)9.66667 (2)9.33333 (3)9.33333
答題分析	能進行一、二、三位小數的數值換算比較。

此題的錯誤率接近10％左右，大多數學生都能瞭解要由左而右比較整數，再比較小數。錯誤類型

分析如下：

（1）    錯誤答案為：（13.569）＞（ 13.81）＞（13.6）選擇此答的可能因素有：

a.       遵循整數法則：認為應小數點後面的位數越多，代表數值越大。

b.      完全忽視小數點的存在，質越多的越大。

（2）    錯誤答案為：（13.569）＞（ 13.6）＞（13.81）若選此答的學生則是數值概念不清，以為是用尾數來判斷數量的大小，尾數越大的，數值越大。

 (三)比比看

題1.

題型/題號	試  題  內  容
比比看/第三題	0.05 （     ） 0.35
錯誤率(%)	2
答題分析	能進行兩位小數的數值比較。

幾乎所有的學生都能判斷同是兩為小數的數值，錯誤率僅2％。

題2.

題型/題號	試  題  內  容
比比看/第四題	0.25公斤 （     ）2500公克
錯誤率(%)	21.3333
答題分析	能進行公斤和公克的換算再做比較。

錯誤率偏高達21.33%，而且筆者發現錯誤的答案皆是認為0.25公斤（ ＝ ）2500公克，顯示學生只看到答案符合單位的換算，卻未能檢驗換算的落差。

結論參考之一：

給老師的建議

九年一貫強調讓學生學習「帶著走的能力」，生活中有很多知識是不能單一畫分的，然而不可免的，數學單元必須因為學習與教學的需求而予以切割，因此教師在教學時應注意個單元之間的連結，除了活絡孩子的思考，也讓孩子更能適應多元的生活情境。

參考書目

蔡鳳秋、楊德清、吳宛儒（2005）。井字遊戲 ~ 我把小數變好玩了!!台灣數學教師電子期刊 2005, 第四期

劉曼麗(1998)。小數教材的處理。論文發表於86 學年度數學教育研討會。嘉義縣嘉義師範學院。

劉曼麗(2002) 。台灣地區國小學童小數概念研究（Ⅱ）國小學童「小數與小數運算」概念之調查研究。九十年度行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告，國科會科學教育發展處。

圖形與面積部分

一. 選擇題：

（    ）10. 形狀和大小完全相同，且可以重疊的圖形，叫作什麼圖形？①正圖形 ②重合圖形 ③全等圖形 ④對應圖形。

學生的迷思：對題目中「重疊的圖形」的敘述，而選擇②重合圖形。

教師的澄清：將關鍵語句提出「形狀和大小完全相同」，引導學生其意義就是「形狀完全相同，且大小相等」。

三. 填充題：

11. 用一條長201公分的繩子圍成一個最大的等邊三角形，這個等邊三角形又稱為（　  　）三角形，它的邊長是(　 　)公分。

學生的迷思：未能將等邊三角形即為正三角形觀念連結。

教師的澄清：利用正三角形圖片指導學生實地量取，並引導邊三角形即正三角形之觀念。

四. 比比看，填入＞、＜或＝：

2.  4000平方公分（     ）4平方公尺

學生的迷思：依舊經驗1公尺=100公分，而認為4000平方公分（ ＞）4平方公尺。

教師的澄清：將關鍵語句提出「平方公尺」，引導「平方是相同的兩個相乘」，所以「1公尺=100公分，1平方公尺=100公分×100公分=10000平方公分」。

參考文獻

1.台灣省國民學校教師研習會編印（1997）。國民小學數學科新課程概說（中年級）～協助兒童認知發展的數學課程。

2. 蔡鳳秋、楊德清、吳宛儒（2005）。井字遊戲 ~ 我把小數變好玩了!!台灣數學教師電子期刊 2005, 第四期

3.劉曼麗(1998)。小數教材的處理。論文發表於86 學年度數學教育研討會。嘉義縣嘉義師範學院。

4.劉曼麗(2002) 。台灣地區國小學童小數概念研究（Ⅱ）國小學童「小數與小數運算」概念之調查研究。九十年度行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告，國科會科學教育發展處。