入座數學謎題
答對率：55%
演出當日，觀眾們一個接一個地依序排隊，準備進場入座；可是第一位進場的是位知名人士，他入場後很大牌地隨便選了一個喜歡的座位坐下了（隨機的，每個空座位被選到的機會均等，故也有可能剛好選到他自己的座位）。
爾後的每位觀眾進場時，如果發現自己的座位被前面的人坐走了，就會隨機地選剩下的其中一個空座位坐下（每個空座位被選到的機會均等）；如果自己的座位還空著，就會對號入座。
今天你是最後一位進場的觀眾，請問你能坐到自己的座位的機率是多少？
二分之一
有想法的朋友（或是想測試你的 code），可以試試看：
有想法的朋友（或是想測試你的 code），可以試試看：
- 如果改成總共 10000 名觀眾，那你（最後一位進場的）能坐到你的座位的機率是多少？
- 在你前面那位進場的（倒數第二位），坐到他自己的座位的機率是多少。
你答對了嗎？（答對與否不會公開，計算難度用）
解析
我要編輯
相信有試著直接計算「最後一位坐到自己座位」機率的朋友，會發現很麻煩：因為一旦前面有人坐到別人的位子，就會影響後面的人坐座位的機率，人數一多可能性也多，難以全部列出。
以下提供個人想到的兩種方法：
方便起見，稱第一位進場的觀眾是 1 號，第二位是 2 號，…，你是最後一位是 2000 號。
（一）先算「自己座位被坐前面的人坐走」的機率，再用 1 去減，即是「坐到自己座位」的機率。
以下提供個人想到的兩種方法：
方便起見，稱第一位進場的觀眾是 1 號，第二位是 2 號，…，你是最後一位是 2000 號。
（一）先算「自己座位被坐前面的人坐走」的機率，再用 1 去減，即是「坐到自己座位」的機率。
一開始就算 2000 號太複雜；不妨先算前幾號的機率看看再類推：
1 號：很顯然他坐到自己座位的機率是 1/2000，不過他不重要。
2 號：只要 1 號不要坐 2 號的座位，2 號就能對號入座；1 號坐到 2 號座位的機率為 1/2000 ，故 2 號能坐到自己座位的機率是 1 - 1/2000 = 1999/2000。
3 號：同樣地，只要 1 號和 2 號不坐 3 號的座位，3 號就能對號入座；1 號坐到 3 號座位的機率也是 1/2000 ；而 2 號要坐到 3 號座位是要在 1 號已坐到 2 號座位的情況下（據上題，機率 1/2000），從剩下的 1999 個位子選中 3 號的座位，故機率為 1/2000 × 1/1999 。因此，3 號能坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 + 1/2000 × 1/1999) = 1 - (1 + 1/1999)/2000 = 1 - (2000/1999)/2000 = 1 - 1/1999 = 1998/1999。
4 號：同理，坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 + 1/2000×1/1999 + 1/2000×1/1999×1/1998) = 1 - (1 + (1+ 1/1998)/1999)/2000 = 1 - 1/1998 = 1997/1998。
……規律滿明顯的…
1999 號：坐到自己座位的機率是 2/3。
2000 號：（你）坐到自己座位的機率是 1/2。
1 號：很顯然他坐到自己座位的機率是 1/2000，不過他不重要。
2 號：只要 1 號不要坐 2 號的座位，2 號就能對號入座；1 號坐到 2 號座位的機率為 1/2000 ，故 2 號能坐到自己座位的機率是 1 - 1/2000 = 1999/2000。
3 號：同樣地，只要 1 號和 2 號不坐 3 號的座位，3 號就能對號入座；1 號坐到 3 號座位的機率也是 1/2000 ；而 2 號要坐到 3 號座位是要在 1 號已坐到 2 號座位的情況下（據上題，機率 1/2000），從剩下的 1999 個位子選中 3 號的座位，故機率為 1/2000 × 1/1999 。因此，3 號能坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 + 1/2000 × 1/1999) = 1 - (1 + 1/1999)/2000 = 1 - (2000/1999)/2000 = 1 - 1/1999 = 1998/1999。
4 號：同理，坐到自己座位的機率是 1 - (1/2000 + 1/2000×1/1999 + 1/2000×1/1999×1/1998) = 1 - (1 + (1+ 1/1998)/1999)/2000 = 1 - 1/1998 = 1997/1998。
……規律滿明顯的…
1999 號：坐到自己座位的機率是 2/3。
2000 號：（你）坐到自己座位的機率是 1/2。
（二）如果你很執著於「為何答案是 1/2 、為何剛好一半」，那可以這樣想：
- 首先，在 1 號坐到他自己的座位的狀況下，就天下太平，大家都會對號入座，你也百分之百會坐到自己的座位；其次，在 1 號坐到你的座位 的狀況下，不管接下來的人怎麼坐，你百分之百坐不到自己的座位。注意，因為「1 號坐到他自己的座位」和「1 號坐到你的座位」的機率是一樣的，所以在目前考慮到的狀況下，你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的。至於其他的狀況（1 號坐到其他人的座位），就繼續討論…
- 在 1 號坐到其它人如第 K 號座位的狀況下，那 2 號到 (K-1) 號都會對號入座，所以就看 K 號觀眾怎麼選座位了。如果 K 號坐到 1 號的座位，那麼接下來的觀眾就都不受影響，可對號入座，你也百分之百會坐到自己的座位；如果 K 號坐到 你的座位，那麼你百分之百坐不到自己的座位。同樣地，因為「K 號坐到 1 號的座位」和「K 號坐到你的座位」的機率是一樣的，所以在目前考慮到的狀況下，你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的。至於其他的狀況（K 號坐到其他人的座位），就繼續討論…
- 如果以上方法一直繼續討論下去，因為人數有限，總會把所有情況都討論完。因為每次討論考慮的狀況下，你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率都是一樣的，所以最後討論完考慮所有情況時，你「坐到自己的座位」和「坐不到自己的座位」的機率也是一樣的，即都是 1/2 。
這一題有趣的地方就在於，無論觀眾有多少人（只要第一位進場的是奧客），那麼最後一位進場者坐到自己座位的機率都是 1/2 ，倒數第二位進場者坐到自己座位的機率都是 2/3 （見方法（一）），倒數第 N 位進場者（除了第一位）坐到自己座位的機率都是 N/(N+1) 。
題目出自：http://gameschool.cc/puzzle/3812/
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