臆測活動設計單 吳如皓老師
活動名稱
|
圓的性質：弧長、弧度、半徑之間的關係
|
數學素養
|
本活動主要培養學生數學素養為：（請勾選）
▓概念的瞭解 □程序的流暢 □策略的能力 ▓合適的推理
▓建設性的意向
□其他 （請列舉）
|
設計發想
|
藉由學生視覺上所造成的錯覺，引發認知衝突，提起學生想主動解決問題的學習意願，並讓學生對圓的性質與這些性質的形成原因更有感覺。
|
活動目標
|
瞭解弧長、弧度、半徑之間的關係，並從這三者可造成的視覺錯覺中探討得到更精確的認知與洞察力。
|
使用策略
|
▓1-1從錯誤類型出發
□1-2從定理公式出發
□1-3從數學知識出發
□2-1從有限離散的案例歸納形成
▓2-2從動態的案例歸納形成
▓2-3從類比形成
▓2-4從發想（溯因：定Q找P）形成
▓2-5從知覺（視覺、直觀、洞察）形成
|
教學資源
|
1.
長短貓魔術道具
2.
學習單
|
活動內容
|
學生表現
|
||||||||||||||||||||
一. 請用直覺回答下列是非題：(不列算式)
（一）在下圖中：（兩同心圓中，大圓半徑交小圓於A、B兩點）
1.（ ）弧AB與弧CD長度相等
2.（ ）弧AB與弧CD度數相等
3.（ ）弧AB與弧CD可以完全重合
（二）在下圖中：
（兩同心圓中，
 // 且＝）
1.（ ）弧AB與弧CD長度相等
2.（ ）弧AB與弧CD度數相等
 3.（ ）弧AB與弧CD可以完全重合
（三）在右圖中：
（
//// 且＝＝）
1.（ ）弧AEB與弧CFD長度相等
2.（ ）弧AEB與弧CFD度數相等
3.（ ）弧AEB與弧CFD可以完全重合
4.（ ）此兩弧為兩同心圓的部分
二. 承上題，請為自己的猜測說明理由。(列出算式或推論)
※在第二大題中，讓學生用自己的認知去檢測自己的直觀是否正確，以此自行修正。然後老師才給予答案，並帶學生一起討論認知衝突的原因與如何找尋正確的結論。在解決迷思概念之後，才進入第三大題。
三. 有人聲稱以下四項條件，只要有其中任兩項達成，就能保證弧AB與弧CD可以完全重合。你認同嗎？請完成下列是非題，並說明你的理由。
(甲) 弧AB所在圓的半徑等於弧CD所在圓的半徑
(乙) 弧AB與弧CD的度數相等
(丙) 弧AB與弧CD的長度相等
(丁)兩弧端點的連線段長度相等（
 ＝ ）
1.（ ）若滿足(甲)、(乙)，則兩弧重合。
2.（ ）若滿足(甲)、(丙)，則兩弧重合。
3.（ ）若滿足(乙)、(丙)，則兩弧重合。
4.（ ）若滿足(甲)、(丁)，則兩弧重合。
5.（ ）若滿足(乙)、(丁)，則兩弧重合。
6.（ ）若滿足(丙)、(丁)，則兩弧重合。
四.
由前幾題的討論所得，寫下你對「圓的性質」的認知有哪些更為清晰？(完成下列是非題，並修正其中錯誤的敘述。)
1.（ ）等弧對等圓心角、等圓心角對等弧。
2.（ ）等弧對等弦、等弦對等弧。
3.（ ）兩半徑相等的圓稱為「等圓」。
4.（ ）兩直線處處等寬(平行線)，則此兩直線的傾斜程度(斜率)相同。
5.（ ）兩圓處處等寬(同心圓)，則此兩圓的彎曲程度(曲率)相同。
附件一：
1.甲圖與乙圖皆是由兩個圓弧組成的圖形，請問哪一個圖的兩弧可以拼成一個完整的圓？請寫下你的判斷方法，並解釋為何這麼做可以說明它是圓？(可以使用一枝有刻度的尺，但沒有圓規)。
甲圖 乙圖
2.甲與乙的面積哪一個大？
(線段AA’=BB’=CC’=DD’，
且弧CD與弧C’D’為兩全
等的圓弧)
 3. 以下三個圓弧，哪一個弧其完整的圓最大？
附件二：
比較下列各組，哪組上與下的圖形完全一樣（全等）
  1. 2.
3. 4.
|
（一）
◎學生正確的認知：
1.因為跑步時知道，內圈較短、外圈較長。所以此題弧AB長度較短。
◎學生錯誤的認知：
1.弧的度數相等，所以兩弧一樣彎，也就是弧AB可以完全重合在弧CD裡面。
（二）
◎學生正確的認知：
1. 因為跑步時知道，內圈較難加速、外圈較易加速。也就是內圈比較彎、外圈比較平，有此可知弧AB長度較長。
◎學生錯誤的認知：
1.因為「平行線截等弧」，所以弧AB＝弧CD。
2.因為弧長等於「2πr×θ/360」，又r1＜r2且θ1＞θ2，所以應該彼此抵銷後可能相等。
3.依題意，大圓可以一直往外擴張下去，所以弧CD的長度較大。
4.一看到就感覺它們是一模一樣的。而且，此題兩弧的度數顯然不同。由此可做出結論：即使兩弧度數不同也可能重合。
5.因為跑步時知道，內圈較短、外圈較長。所以此題弧AB長度較短。
（三）
◎學生正確的認知：
1.因為ACFE是平行四邊形(一雙對邊平行且等長)，所以
 ＝ 。同理， ＝ 、 ＝ 。於是△AEB全等於△CFD，而此兩全等三角形之外接圓必然全等。
◎學生錯誤的認知：
1.和上一題的圖類似，所以應該是同心圓，由上一題的圖可知弧AEB的度數較大。
2.圓心在下面，而弧CFD往上移了，所以弧CFD的半徑較大。
3.弧CFD的圓會包住弧AEB的圓，所以弧CFD的圓大，也就是弧CFD的半徑大。
4.弧CFD的圓會包不住弧AEB的圓，所以弧AEB的圓大，也就是弧AEB的半徑大。
三.
1.學生對半徑、弧長、弧度這三者關係的推論(有以知的兩者推未知的第三者)較為熟悉，所以前三題可以較迅速的完成。
2.學生對弦長與其他物件的關係較為陌生(後三題)，容易遇到思考瓶頸或需要較長的時間。
3.第四題中，學生容易發現兩三角形SSS全等，進而解決問題。
4.第五題中，學生不容易發現兩三角形ASA全等，需要較長的時間或老師的引導。
5.第六題最難，且不易用國中的數學式推導出來。但有學生利用前幾題所學到的觀念來說明：當兩弦長相等時，比較彎的弧就會比較長、比較不彎的弧就會比較短。所以，兩弧要等長必須「一樣彎」，而「一樣彎」即是半徑相等。
四.
1.前兩題必須在同半徑的圓才有效，學習單的第一大題即是直接的反例，學生在此可以再次釐清所學到的性質。
2.第三題考的定義並非為了讓學生記憶背誦，而是呼應之前「兩半徑相等的弧」會「一樣彎」的感覺。
3.最後兩題把直線與弧線做了對比，讓學生釐清之前視覺被誤導的原因。
※在完成這四大題的學習之後，可以用三道題目(附件一)檢測學生的思維力與洞察力是否有進步。
※附件二
回應最開始的魔術，讓學生再次體驗錯誤參照的視覺誤差、直線與弧線的差異。
|
||||||||||||||||||||
◎延伸思考：
本教學設計主要是藉由視覺直觀所導致的迷思概念，造成學生認知衝突而展開主動學習。這迷思概念的可能來源，一是學生使用了不當的隱喻，二是學生的思維陷入了直觀規律因而產生錯誤的。分別敘述如下：
一.不當的隱喻：
學生在學實習為了理解，拿生活中的事物來比喻數學物件，但這樣的比喻可能會在某些地方造成迷思概念。例如把科學中的電流比喻成水流，在某些特性上就會出差錯。
在第一大題中，第一題有學生用「跑道內圈較短、外圈較長」，來推論此題弧AB長度較短，這時候正確。但到第二題學生用「跑道內圈較短、外圈較長」，來推論此題弧AB長度較短，這時候就錯了。因為學生沒注意到第二題的「起跑線」和生活中的不同，所以不能用「跑道內圈較短、外圈較長」來說明。(但若用「跑道內圈較彎、外圈較不彎」就正確了。)
二. 直觀規律
Tirosh & Stavy（1999）(註一)提出了四種直觀規律，其中第一種與第二種直觀規律和本教學設計相關，分別說明如下。
(一) More A - More
B
在二個物體大小比較的問題情境中，甲物體的A1量大於乙物體的A2量，學童會使用二物體中較明顯的量（A1、A2），去比較問題情境中所求量（B1、B2）的大小。解題過程只經由A1＞A2的判斷，而不適當的推得B1＞B2。
（二）Same A - Same B
在二個物體大小比較的問題情境中，甲物體的A1量等於乙物體的A2量，學童會使用二物體中較明顯的量（A1、A2），去比較問題情境中的所求量（B1、B2）的大小。解題過程只經由A1＝A2的判斷，而不適當的推得B1＝B2。
在第一大題中第二題有學生認為「外圈的周長比內圈大，所以外圈被截出來的弧長一定較大」、第一大題中第三題有學生認為「當圓心在下面時，弧的位子在越上面，其半徑也就越大」(忽略其實其並非同心圓)、附件一的第二題「乙圖的周長較長，所以乙圖的面積也比較大」，這些錯誤便是來自於More A - More B這項直觀規律。
在第一大題中的第一題有學生認為「因為兩弧度數相等，所以兩弧一樣彎」、第一大題中的第二題有學生認為「因為＝，所以兩弧等長」、第四大題中的第五題「兩圓處處等寬(同心圓)，則此兩圓的彎曲程度(曲率)相同」，這些錯誤便是來自於Same A - Same B這項直觀規律。
＝，所以兩弧等長」、第四大題中的第五題「兩圓處處等寬(同心圓)，則此兩圓的彎曲程度(曲率)相同」，這些錯誤便是來自於Same A - Same B這項直觀規律。
註一The
Intuitive Rules Theory and Inservice Teacher Education. In F. L. Lin
(Ed), Proceedings of the 1999
International Conference on Mathematics Teacher Education. Department of
Mathematics, National Taiwan Normal University: Taipei, Taiwan, 205-225
沒有留言:
張貼留言