台中市國中數學領域輔導團

甯自強 國立嘉義師範學院數理教育系

摘要

課程可以區分成：學者專家企圖的課程、教師真正實施的課程與學生的實際課程成就三類。本文則以「增大兒童的學習數學的機會」為出發點（point of departure），就「增進企圖課程的品質」與「縮小企圖課程及實施課程間的差距」兩大問題，提出「透過形成數學課程發展人員間的共識」的方案進行解題，以期能進一步一方面「增大兒童的數學學習成就」，再方面進而「縮短企圖的課程、實施的課程與學生的實際課程成就間的差異」。
Howson， Keitel與Kilpatrick將課程的傳播方式區分成兩種：由中央到邊陲（central to peripheral）及由邊陲到中央。本文中所謂的「透過形成數學課程發展人員間的共識」的方案，基本上處理的就是傳播的問題。與Howson等人不同的地方在於：他們主張的傳播活動突顯了「傳播」一詞中「由有到無」的意義，而本文的傳播活動則突顯了「傳播」一詞中「意義切磋」的意義。而「意義切磋」的合作本質，在以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提下，進行使彼此能有結構性的袂結活動的討論，進而產生相互的約定行為，則較易完成數學課程發展活動的品質提昇。

要問行動的下一步是什麼，首先得先釐清行動的目的或目標在那裏？如果行動的目標在於以目前已近開發完成的小學數學實驗課程為基礎，希望將之外延（extrapolate）至國中數學學程，則探討的可以是黃敏晃老師的問題：「國中小數學課程的銜接問題」。如果行動的目標在於期望縮短學者專家企圖的課程（intended curriculum）與教師真正實施的課程（implemented curriculum）間的差異，值得進行的下一步即為反省周筱亭老師的問題：「從數學課程實驗班教師的在職進修談起」。如果下一步的行動目標在於期望瞭解學者專家企圖的課程與學生的實際課程成就（achieved curriculum）間的差異，值得進行的下一步則是吳昭容老師的問題：「實驗課程中的學生評量成果」。倘使行動的目的在於期望改進相同課程內容的發展方式，下一步進行之前，則是蔣治邦老師的：「對實驗課程編制的反省」問題。本文則將目標放在如何在下一步的行動中，放在期望於提昇整體課程的品質上，探討「如何透過數學課程發展人員間的共識形成，以增大兒童的學習數學的機會」，此一問題。

一、兒童學習數學的機會

數學課程的發展建基在完成數學教育的目的上；課程是為達成教育目的而設計的工具。對數學教育的目的在理念立場上，作者同意Thom在其大作「新數學是否存在？」(Thom, 1973)一文中所指出的：數學教育的目的在於使學生獲得數學物件的意義。由是，在本文的情境下，評鑑數學課程發展的最終判準即為能否「使學生獲得數學物件的意義」。
所謂的學習機會（opportunity to learn），用在這裏，則是指在數學教學情境中，基於課程的規畫，使兒童可以學得到的數學物件的意義，或者是，特定知識、技能或態度，的可能性而言。至於學得到的特定知識，則是指瞭解該項知識，而非模仿的成功，但也不是精熟；學得到的特定技能，則是指具備實踐該項技能的能力，而非僅能作說明書式的背誦，但也不是精通；學得到的特定態度，則是指言行一致的理性習慣，而非「習慣」的描述，但也不是狂熱。
因此，所謂的數學課程發展，用在此處，則是指將目標置於為使兒童，在國小學程情境中，學得特定的數學知識、技能或態度的一組或數組的具體作為而言。所謂成組的具體作為，則是指有系統而且能被實際地實踐的活動，而非易流於空言意識規畫或設計，但也不是頭痛醫頭，腳痛醫腳的權宜措施。數學課程發展成果的具體表現，並不止在於教科用書的成品開發完成，而在於能達成兒童學得特定的數學知識、技能或態度的數學教育目標。

二、增大數學學習機會

增大兒童學得特定數學知識、技能或態度的學習機會預先假設了機會的存有。易言之，是項特定數學知識、技能或態度必須先被課程發展的具體作為「選定」為兒童的學習目標；或者是，基於兒童本身的生活需求，不論有無課程發展的選擇，兒童均須調適自己而使其本身能具備是項特定的數學知識、技能或態度，以解決有關的生活問題。舉例來說，『貨幣的使用』雖然常被列在國小的數學課程中，但是貨幣的使用是兒童本身的生活需求，即使課程發展過程中的具體作為並未加以選擇，兒童仍有學得的機會，一些所謂的「俗民數學（ethno-mathematics）」研究報告中，所探討的主題就是兒童使用貨幣的活動。然而，舉例來說，『養成從數量觀點看日常事件的習慣』雖然也被列在國小的數學課程中，但是除了如貨幣的使用等與一般日常生活較有直接相關的活動外，一般人並不如同「數學的年夜飯」（黃敏晃，1998）此書的作者一般，有到牛肉麵攤吃一碗麵時，順便估算麵攤的營業額和利潤（pp.139-147），的那種習慣。因此，兒童學得如『養成從數量觀點看日常事件的習慣』等的可能性，預先假設了，已先被課程發展的具體作為「選定」為兒童的學習目標，的事實。
課程發展的具體作為「選定」特定數學知識、技能或態度作為兒童的學習目標，僅僅是使兒童有學習的機會而已，國小數學課程發展的具體作為應當將其最終的目標放在增大兒童的學習機會上，而非僅僅是使兒童有學習的機會，因為國小學程是國民教育而非菁英教育，教育對象是所有尋常的兒童，而非少部分的資賦優異學童。依據「社會需求」而選定特定數學知識、技能或態度作為兒童的學習目標固然重要，但如若尋常兒童在國小學程中學得此項數學知識、技能或態度的可能性低，從而便無法使學生獲得數學物件的意義，這種選擇只會增加困擾，未能真正地增大兒童的學習機會。
課程發展的具體作為選定尋常的兒童均能學得到的特定數學知識、技能或態度作為兒童的學習目標，僅僅是使兒童有學得的機會而已，國小數學課程發展的具體作為應當將其最終的目標放在增大兒童的學習機會上，而非僅僅是使兒童有學得的機會，因為國小學程情境中時間有限，不同的學習目標彼此間會產生排擠作用。「傳統」的學習目標雖然重要，也是課程發展活動穩定提昇成長的基石；然而在如「社會不再需求」等的情境下，即使極大化學得的機會，但是課程發展的具體作為加以選定成為兒童的學習目標，僅是排擠了學習其他數學物件學習機會，實際上並未增大兒童的學習機會。
課程發展的具體作為考慮兒童的學得機會並對學習目標的相互排擠問題以增大兒童的學習機會作為判準形成決策後，選定特定數學知識、技能或態度作為兒童的學習目標，僅僅是完成學習機會的內容而已，國小數學課程發展的具體作為不僅應當決定學習機會的內容，並且應該對學習機會的內容加以系統化地組織。而學習機會內容的系統化組織方式，即歸類或排序，亦需以能增大兒童的學習機會為首要考慮。在歸類方式部份，不同的歸類方法則意味著對數學物件的意義的不同看法。例如，如64年版的國民小學數學課程標準中的「數與量」和「實測與計算」的分類方式，在82年版的國民小學數學課程標準中，則被重組成「數與計算」和「量與實測」兩類。64年版的分類方式，明顯區分出概念與技能間的差異（concept vs. skills），而在82年版的分類方式，則將同類活動的概念性知識(conceptual knowledge)與程序性知識（procedural knowledge）視為一體，凸顯出對數（number）與量（quantity）間的區分。
究竟哪一種分類方式較能增大兒童的學習機會，顯然各有考慮，此處的重點不在主張特殊的分類方式，而在於強調系統化的組織下，學習目標不應錯置，錯置則易導致誤解，從而降低增大兒童的學習機會的可能性。例如，在82年版的國民小學數學課程標準中，圖形空間領域內『使用量角器量角度及畫角』，此一學習目標內容可有兩大部分：量角度與畫角。前者是有關角度測量的，而後者則是以角度測量為基礎進行造形的活動；前者是量與實測的學習目標，後者則兼具量與實測與圖形空間兩方面的內容。依據內容的性質，此一學習目標似乎應置於量與實測領域，而非置於圖形空間領域內。
在排序方式部份，不同的排序方法則意味著對數學物件的意義的獲得有不同看法，而不是數學物件本身的學理組織有不同的看法。例如，實驗課程採取學期內的螺旋化組織，以教學活動為單位的方式，將如乘法啟蒙教材的教學內容，打散在整學期的各單元中逐步的加深加廣，這種學期內螺旋化課程，打破了每個單元內教材內容的一致性，使得名為乘法的單元可能含有加、減法的教材。但是，64年國立編譯館版的教科書則採用學期間的螺旋化組織，以教學單元為單位的方式，將如乘法啟蒙教材的教學內容，打散在跨學期的各單元中逐步的加深加廣，這種學期間螺旋化課程，保持了每個單元內教材內容的一致性，使得名為乘法的單元僅僅含有乘法的教材。前者主張有關乘法的學習活動應該散佈在每時每刻，而後者則主張同一類的學習活動應組織在同一單元中，以便集中學習。
究竟哪一種排序方式較能增大兒童的學習機會，顯然各有考慮，此處的重點不在主張特殊的排序方式，而在於強調系統化的組織下，學習目標不應失序，失序則易導致誤解，從而降低增大兒童的學習機會的可能性。例如，82年版的國民小學數學課程標準中，有關面積內容的學習目標，將『以平方公分為單位，進行實測與估測活動』，序列在『面積的間接比較』之前，即為一失序的表現，因為『以平方公分為單位，進行實測與估測活動』是『面積的間接比較』的一種，未能進行間接比較之前，即可進行單位為基礎的比較活動，似乎並不很合邏輯。
事實上，學習目標的失序有時不是同一分類內的失序，而是跨類別間的失序，失序則易導致「全盤性」的矛盾，從而也降低增大兒童的學習機會的可能性。例如：82年版的國民小學數學課程標準中，『一位小數記數法的位值』此一學習目標，自然應當包含10個0.1與1個1一樣大的事實，與『等值分數』此一學習目標有所有關。然而，『一位小數記數法的位值』被序列在三年級出現，而『等值分數』則序列在五年級出現，此一跨類別間的失序，對於增大兒童的學習機會自然有所影響。
　

三、數學課程發展人員間的共識

課程發展人員，若以實施的課程為基準點來看，我國現行制度下最少包含下列人員：（一）課程標準修訂人員：課程標準委員及有關的工作人員。此類人員的活動目標主要為修訂原有的課程標準，以為進一步的課程發展工作有所依據。（二）教科用書開發人員：教科用書編輯委員及工作人員。此類人員的活動目標主要為依據第一類人員所修訂的課程標準，選編具體的教學內容以成為教科用書，作為進一步的課程發展工作的依據。（三）教科用書審查人員：教科用書審查委員及工作人員。此類人員的活動目標主要為依據第一類人員所修訂的課程標準，審查第二類人員所選編的教科用書，作為第四類人員進行進一步的課程發展工作的依據。（四）、教科用書使用人員：教師及相關人員。此類人員的活動目標主要為依據，第二類人員所選編的教科用書、自己對課程發展的知識以及兒童的反應，完成課程的具體實施。在數學課程的發展過程中，這四類人員間所形成的共識在在地影響兒童的學習機會，應是無庸置疑的。
對於在數學課程的發展過程中，四類人員間必須有所共識，此類共識的本質，作者同意Maturana在其大作「語言的生物學：現實的知識論」(Maturana, 1978)一文中所指出的：所謂的共識是指一生物群體間的共識域（consensual domain）內的元素，這些元素則是，群體內的個體間為達成，使彼此能有結構性的袂結（reciprocal structural coupling）活動，而產生的相互約定行為。舉例來說，作者（一個個體）意欲作者的助理（另一個體）能將桌面加以清理（活動），即，使助理，能依據作者本身的意願（結構性的袂結），進行桌面的清理；作者可發出一序列的聲形【ㄑㄧㄥˇ ㄅㄤ ㄨㄛˇ ㄑㄧㄥ ㄓㄨㄛ ㄗ˙】（作者產生的行為），而作者的助理即會進行桌子的清理工作（聲形的意義是相互約定的）。
由是，所謂的共識域，用在此處，則是指一群人在溝通時相容（compatible）部份的總稱。兩人間對同一事物產生共識，並不意味此事物對雙方的意義相同，而僅意味著雙方均認為，在解決與在與此事物有關的問題情境中，選用特定的方法以進行問題的解決，並不違反自己本身的理念而已。
雖然僅有四種課程發展人員，但是即使不計同一類人員中的子分類，實際上的不同共識域卻可以有15（或2⁴－1）種之多。不僅各類的課程發展人員有自己的共識域，兩類人員之間、三類人員之間均有各自的共識域。舉例來說，課程標準中所謂的「量的間接比較」，可能不見得是教科書使用人員間的共識域元素，即，未必所有的教科書使用人員都認為，必須在兒童已經具備量的保留概念之後，才能進行「量的間接比較」。然而，對其他的三類人員來說，多半希望能在兒童已經具備量的保留概念之後，才開始進行「量的間接比較」活動。至於本文所主張應形成的共識，則是四種課程發展人員共有的共識域中的元素而言。
主張四種課程發展人員間應形成共識，並不意味四種課程發展人員在解決與在與課程發展有關的問題情境中，都選用一定的方法解決問題；而是主張在以「能增大兒童的學習數學的機會」判準上，透過傳播活動，擴充及維持四種課程發展人員共有的共識域中的元素意義。在擴充的方面來說，必需擴充的範圍，事實上也是共識域中的元素，有待四種課程發展人員共同努力形成。但在我國的制度下，課程標準的內容應包含在課程發展人員的共識域範圍內，應該是可以接受的，一方面因為我國的課程標準是法律的一種──法規，而另方面，由理論上來說，課程標準也應是課程發展人員所具備的共識底一種表現。現行課程標準的內容範圍，截至目前為止，雖然尚未取得課程發展人員間的共識，但若能以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提來考慮此一課程發展的問題，解決此一問題的優先考慮，應是不斷的透過傳播活動，積極的充實四種課程發展人員共有的共識域中的元素範圍，一方面藉以「增大兒童的學習數學的機會」，另方面用以作為修訂未來課程標準的內容。
在維持方面來說，必需維持的內容意義，也是共識域中的元素，有待四種課程發展人員共同努力形成。但在數學課程學術進展上，所維持的意義應當是能經得起研究成果的挑戰的。特需注意的是，本文主張的是，共識域元素的意義應是能經得起研究成果的挑戰的，而不是順應研究結果的主張的。伴隨研究結果的主張產生的，是該主張所能解決的課程發展問題，以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提來考慮此一課程發展的問題，解決此一問題的優先考慮，應是如何能避免此一問題的發生，或是如何將此問題加以處理，而非盲目地順應研究結果的主張；因為，研究成果的主張，僅是處理研究成果所指出的挑戰的一種方法，該主張雖能解決問題，但能解決問題的行為，未必不會製造出新的問題；能解決問題的行為，製造出新的問題的例證比比皆是。如前所述，現行課程標準內容的意義，截至目前為止，雖然也尚未取得課程發展人員間的共識，但若能以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提來考慮此一課程發展的問題，解決此一問題的優先考慮，仍應是不斷的透過傳播活動，積極的充實四種課程發展人員共有的共識域中的元素意義，一方面藉以「增大兒童的學習數學的機會」，另方面用以作為修訂未來課程標準的內容。

四、形成數學課程發展人員間的共識

四種課程發展人員共有的共識域內的元素成份與元素意義的維持是依賴不斷的例證化（instantiation）而達成的。所謂的例證化是指，使例證與被例證的共識域內元素在同一時空中出現，俾使欲掌握共識的個體將例證與元素加以連結（associated）。對元素的成分與意義加以界定只是例證化的一種，而且是很弱的一種，因為用來界定元素的物件本身必需先是共識域內的元素，姑且不論是否會陷入解釋上的循環問題（the problem of hermannuetic circle）。透過活動的演示提供共識域內元素的例證，不僅較為具體，也可提供作為深入傳播的素材。
由是，欲形成數學課程發展人員間的共識，必需依賴四種課程發展人員對共有的共識域內的元素成份與元素意義，彼此之間不斷地進行，例證的提供及例證的傳播，兩種活動方可達成。如前所述，提供的例證必須具體或是透過使用已在共識域中的元素加以界定的敘述（所謂主張課程標準非術語化的有關活動，或是科學論述的大眾化活動，即為透過使用已在大眾共識域中的元素敘述課程標準或科學概念的活動）。
至於傳播（Disseminate），用在這裡，意指互動式的切磋意義（interactive negotiating meanings）。具體的活動例證或是透過使用已在共識域中的元素加以界定的敘述例證，透過數學課程發展人員的參與切磋其內涵意義，從而對未來可能位於共識域內的元素建立經驗，由是察覺，進而了解（甯自強，1993）。對於傳播的內容，數學課程發展人員未必認為，在解決與在與此事物有關的問題情境中，所傳播的特定的解決問題方法，都是不違反自己本身理念的。在以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提來考慮此一課程發展的問題下，重點並不在於你有沒有能力，你喜歡不喜歡，與你的理念是否相容。而在於你是否同意將傳播的內容視為問題的部分，視其為問題；且在視其為問題后，你是否企圖解決問題；以及你的解法或是傳播內容主張的解法是否有效，你的解法或是傳播內容主張的解法是否有副作用，和你的解法或是傳播內容主張的解法是否最符合你個人的，以及有關人士的生存原則。
最後，在以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提來考慮形成數學課程發展人員間的共識此一問題時，對於數學課程發展人員來說，除了應置於(1)增添共識域中的能增大兒童學習機會的新元素，以及(2)淘汰共識域中的能減小兒童學習機會的舊元素，兩方面之外，另一重點作為則是應營造傳播的情境以期獲致共識。所營造的傳播情境，應以能促進數學課程發展人員互動的活動，而非單方向的宣導性的活動，為主；舉例來說，應多辦理座談會，而非研習會。特別的，傳播情境的出現頻次除應提高外，亦需基於數學課程發展人員組成份子的動態本質，設法均勻分布，以期能使共識域內的元素及其意義得以維持。易言之，座談會的辦理，不僅是更新課程標準或教科用書時要舉辦，在課程實施或教科用書的使用過程中，就得持續且經常地辦理。此外，透過科技的演進，傳播情境的營造，遠較過去來的容易，如何設置出虛擬的（virtual）傳播情境，並且妥當的加以維持，從而解決「形成數學課程發展人員間的共識」的課程發展問題，亦為可以深入探討的數學課程發展問題。

五、一些反省

Howson， Keitel與Kilpatrick（1981）在他們的大作「數學的課程發展」（curriculum development in mathematics）中曾經以研究－發展－傳播（research－development－dissemination）的RDD三部曲模式來描述不同取向的課程發展模式。嚴格的來說，我國國小數學課程發展，雖然也是RDD，但我國的RDD並不是Howson， Keitel與Kilpatrick的RDD模式。我國的RDD是法規－開發－分配（Regulations－Development－Distribution）的模式。換句話說，我國的發展則是先修訂課程標準，然後依據課程標準開發出教科用書，最後則不論是所謂的部編本或民間任何版本，終止於將教科用書想辦法送至老師或學生處，並非將「課程」傳播到數學課程發展人員的圈內。
Howson， Keitel與Kilpatrick（1981）將課程區分成：學者專家企圖的課程（intended curriculum）、教師真正實施的課程（implemented curriculum）與學生的實際課程成就（achieved curriculum）三類。本文則以「增大兒童的學習數學的機會」為出發點（point of departure），就「增進企圖課程的品質」與「縮小企圖課程及實施課程間的差距」兩大問題，提出「透過形成數學課程發展人員間的共識」的方案進行解題，以期能進一步一方面「增大兒童的數學學習成就」，再方面進而「縮短企圖的課程、實施的課程與學生的實際課程成就間的差異」。
Howson， Keitel與Kilpatrick（1981）將課程的傳播方式區分成兩種：由中央到邊陲（central to peripheral）及由邊陲到中央。本文中所謂的「透過形成數學課程發展人員間的共識」的方案，基本上處理的就是傳播的問題。與Howson， Keitel與Kilpatrick等人不同的地方在於：他們主張的傳播活動突顯了「傳播」一詞中「由有到無」的意義，而本文的傳播活動則突顯了「傳播」一詞中「意義切磋」的意義。在中央通常意指的是「以行政單位或是學術單位為傳播中心」，而邊陲通常意指的是「以個別教師或教師群為傳播中心」，情形下，「由有到無」的競爭本質，很容易使，在傳播過程中的一些異於「能增大兒童的學習數學的機會」其他因素，成為主要的考量重點。而「意義切磋」的合作本質，在以「能增大兒童的學習數學的機會」為前提下，進行使彼此能有結構性的袂結活動的討論，進而產生相互的約定行為，則較易完成數學課程發展活動的品質提昇。

　　

參考書目

Howson, G., Keitel, C., & Kilpatrick, J. (1981). Curriculum development in mathematics. New York, NY: Cambridge University Press.
Maturana, H. (1978). Biology of language: The epistemology of reality. In G. Miller & E. Lenerberg (Eds.), Psychology and biology of language and thought. pp.27-64. New York, NY: Academic Press.
Thom, R. (1973) “Modern”mathematics: Does it exist? In A. G. Howson (Ed.), Development in mathematics education. Proceedings of the 2nd ICME (pp. 194-209). Cambridge: Cambridge University Press.
黃敏晃。（1998）。數學的年夜飯。台北市：心理出版社。
甯自強。(1993)。經驗、察覺、及瞭解在課程中的意義～由根本建構主義的觀點來看～。論文發表於國小數理科教育學術研討會。台東市台東師範學院六月五日。