自然界的質數

　

文：徐任宏

星期天下午，和怡倩閒聊，談著談著，扯到了數學上的質數。
「談到質數，就想跟妳講一個自然界裡面非常有趣的事！」我說。
「什麼事啊？」怡倩顯得興致勃勃。

「在北美洲有一類生命週期非常長的『十七年蟬』（右圖），牠的幼蟲在地底下整整生活十七年以後，才會爬出地面羽化成成蟲，然後交配、產卵，接著就死亡了。於是，同一地區每隔十七年，就會出現數以百萬計的十七年蟬，而中間十六年完全不見蹤影！另外還有一類『十三年蟬』，也是同樣的狀況唷！有趣吧？！」我簡單地介紹。

「怎麼會有這種事情？十七年？十三年？天啊！好久唷！」怡倩相當驚訝。
「是呀！妳有沒有發現：十七和十三都是質數？」
「對耶！有什麼特別的原因嗎？」
「科學家曾推測：可能當初蟬有一種寄生物，假設這種寄生物的生命週期是2年，蟬要避開這種寄生物的最好方法，就是避開2的倍數的生命週期；同樣的，如果寄生物的生命週期是3年，那就避開3的倍數。依此類推，蟬的最佳生存策略就是選擇一個質數的生命週期，這樣一來，和寄生物相遇的機率就非常非常小了！」我解釋著。
「太奇妙了吧？！」怡倩驚嘆地說。
「嗯！另一方面，由於質數除了1和本身以外，沒有其他因數，所以將兩個大質數相乘以後，要反過來找出這兩個質數變得相當困難，因此，質數在密碼學上有著相當重要的應用喔！」我說。
「好好玩唷！那質數有幾個呀？」怡倩問。
「呵呵，兩千多年前，古希臘數學家歐幾里得就已經證明了質數有無限多個；而大約同時代的數學家埃拉托斯芬更發明了『篩法』，依次將2的倍數、3的倍數、5的倍數……篩除，最後留下的就是質數。利用這個方法，我們知道10以內有4個質數，100以內有25個，而1000以內有168個。」
「這樣找不是很辛苦嗎？」怡倩質疑。
「是很辛苦呀！所以在歷史上，很多人都努力想找出一個『質數公式』，其中最有名的就是那位可愛的費馬先生。」
「又是他！他找到了嗎？」怡倩笑著問。
「呵呵，他在西元1640年提出了一個公式：『 2＋1』，他驗算了n等於1到4的情況，發現都是質數以後（如下表），就直接猜測只要n是自然數，這個公式求出來的一定是質數。」我說。

n	2＋1
1	2＋1＝5（質數）
2	2＋1＝17（質數）
3	2＋1＝257（質數）
4	2＋1＝65537（質數）

「他猜對了嗎？」怡倩問。
「呵呵，這次又是總是做苦功的歐拉出馬，發現了費馬老兄的錯誤，原來，只要驗算n＝5的情況，就會發現得到的4294967297(＝641×6700417)根本不是一個質數。」我笑著說。
「嘿嘿，歐拉做的事還真多！」怡倩說。

「沒錯，他在數學史上，是一位非常重要的人物喔！」我喝了口水，繼續說：「雖然費馬的公式是錯誤的，但是數學家從另一個方向來尋找大質數，也就是之前講完全數時提到的：『如果2-1是一個質數，那麼N＝2(2-1)一定是個完全數。』於是，數學家們努力驗算不同的 n值，也找出了一些質數，但是由於數字太大，當時又沒有電腦的幫忙，所以很多結果都是錯的。到了十七世紀，一位法國的天主教修士梅森尼（左圖）提出了：在 n不大於257的情況下，共有十一個質數。雖然他的結果同樣有不少錯誤，但是後人就把『2-1』這種形式的質數叫做『梅森尼質數』。」

「真是賺到了！」怡倩打趣說。
「或許吧！現在的數學家們在質數這個領域裡，有兩個重要的研究方向：一個是利用各種更有效率的篩法，不斷地往更大的數裡面去搜尋質數；另外就是尋找新的『梅森尼質數』。」
「有什麼成果嗎？」
「嗯！到西元1996年為止，數學家已經藉由電腦運算，知道10²⁰以內有多少質數了；另一方面，在西元1999年六月，數學家也發現了第三十八個『梅森尼質數』： 2^6972593-1，這同時也是到目前為止發現的最大質數喔！它是一個2098960位數，夠嚇人吧！」
「實在太厲害了！沒想到光是質數就有這麼多的學問呀！」
「是啊！所以除了學校教的以外，平時還是要多方面吸收知識唷！」我鼓勵說。
「嗯！」怡倩肯定地點頭。

質數的密碼遊戲： 柯南得到了祕密組織的一個密碼數字：1147，只知道這個數是兩個質數的乘積，只要找出這兩個質數，就能解開一個密語。小朋友，快幫幫柯南的忙，找出這兩個質數吧！（提示：其中一個是『梅森尼質數』） 歡迎將你的答案E-Mail給維尼哥哥唷！