數學家意料之外的發現︰質數不喜歡「重蹈覆轍」

Kayue    TNL 香港編輯

質數是數學界最古老又最迷人的題目之一，其定義非常簡單︰「只能被1或自身整除的數字」，但還有很多基本問題未能解決，例如「是否存在無限對孿生質數？（差距為2的質數對，例如3及5、17及19、41及43等）」——數學家張益唐三年前以新方法打開缺口，但目前數學界仍未有最終答案。


看似無序的質數
菲爾茲獎得主陶哲軒曾指出，數學界——至少是研究質數的社群——對質數的特性有不少猜測，也很有信心這些猜想成立，但要證明時便遇到極大困難。他認為其中一個原因是數學家普遍相信質數在很多方面都呈現「偽隨機」的特性——即跟隨機選取的數字無異——而缺乏簡單規律。
當然，質數並非隨機選取的︰我們知道除了2及3外，不可能再找到一對只相差1的質數——因為任何連續兩個數字，都有最少一個雙數；我們亦知道除了5以外，任何質數的個位都不會是5。數學家也知道質數整體分佈符合某些規律，例如質數定理讓數學家可以估算在特定數字（例如100萬）以下有多少質數。
近日有數學家在收集期刊論文預印本的網站arXiv上載論文，指出一個關於質數的新發現，並提出猜想去解釋為何會有此現象。 
討厭重複的質數？
論文題目為《連續質數的分佈中一個意料之外的偏差》（ Unexpected biases in the distribution of consecutive primes）。來自史丹福大學的Kannan Soundararajan及Robert Lemke Oliver發現，隨機抽取兩個連續質數，尾數相同的機率似乎會較低。
換言之，假設你知道某個數是質數，個位為1，那麼緊接下一個質數的個位是3、7或9的機會要比1大，就像質數「不喜歡」跟上一個質數有相同尾數般。不過這僅是質數整體分佈的現象，絕不代表任何相鄰的質數個位都不一樣。更甚者，此現象不限於10進制，無論是用3進制、4進制以至12進制，類似現象亦會出現。兩位作者寫了程式統計，在數個進位制下直到10億甚至1萬億，數據均符合理論預測。
這現象的確使數學家感到驚奇，數論專家Andrew Granville說︰「我們研究質數已有很長時間，但在此之前未有人發現這現象。真的很瘋狂。」而且這發現跟大部份數學家所想完全相反，另一數論專家Ken Ono更指在聽到消息時，曾認為兩人的程式出錯。