[數學謎題]錢滾錢，錢生錢

你來到了一個派對
這個派對是由世界首富芝諾．昂基里斯舉辦的
酒酣耳熱之餘，主持人宣布了接下來要進行一個遊戲
可能可以讓在場任何一人一夕致富

這個遊戲很簡單
主持人會給你一枚硬幣
這枚硬幣有正反兩面（註：這不是廢話，是在聲明兩面的圖案是有差異的）
拋擲這個硬幣後，正反兩面朝上的機率絕對相等（這點不容質疑）
在一開始，你保證會獲得2美元
但如果擲到正面，則你的獎金將會加倍
且可以繼續擲硬幣
若又擲到正面，則你的獎金再次加倍
且可以繼續擲硬幣
......
以上過程硬幣直到出現反面為止
然後參加者就可以將獲得的獎金全數帶走！

這個規則讓在場人士無不垂涎三尺
但可惜的是，並不是人人都有機會參與
在遊戲開始前，在場嘉賓必須先進行競標
出價最高者才能獲得參加資格

這下就傷腦筋了
你知道你的存款大約有美金10萬左右（別問為什麼）
為了不讓問題複雜化，我們排除風險考量的問題
只用統計學和其它經濟學理論來思考的話
究竟我們應該將競標上限設在多少，才是合理的呢？


答：
你應該盡你所能全力競標，將你擁有的所有財產設為上限

解析：
純就統計學而言
只要你能獲得的利益的期望值高於你的出價
這個出價就是合理的
而就此題的情形而言
你有1/2的機率會獲得2美元，期望值1美元
1/4的機率獲得4美元，期望值1美元
1/8的機率獲得8美元，期望值1美元
......
最後將所有期望值相加
你會發現：最後的期望值竟然是無限大！
也就是說
就理論上而言，你應該竭盡你的全力來競標
無論你出了多少錢，只要還在你的能力範圍內，都是合理的

當然，以上是排除掉「風險評估」之後的結果
若是包含風險評估的部分，則你一定要設一個上限
否則會有賠掉所有財產，卻只獲得2美元的風險存在
就像「不能因為某個死亡意外的發生機率很低，就忽略它的存在」一樣
適當的防範還是必要的

題目來源：http://gameschool.cc/puzzle/4547/