彗星般的天才數學家—拉馬努金

取自天下雜誌    作者：游森棚      http://www.cw.com.tw/article/article.action?id=5075951

4月26日是印度天才數學家拉馬努金的逝世周年日。就在下個月，描寫拉馬努金一生的傳記電影《天才無限家》即將上映。在此僅用這篇文章介紹與紀念這個雖像慧星一樣一閃即逝，但耀眼的光芒到現在仍然閃耀的天才數學家。

1913年春天，當時全世界最好的數學家之一， 英國劍橋大學的戈弗雷‧哈羅德‧哈代（G.H. Hardy） 接到了遠從印度寄來的，郵戳 1月16日，一封厚厚的信。開頭寫著：「敬愛的教授，我是馬德拉斯的一個職員，現年23歲。這些是我的發現，可以幫我看看嗎。」接下來是一長串的十多個數學公式，只有式子，沒有前後文，沒有理由。

貌似無厘頭的式子寫滿了九張信紙。哈代一開始以為是惡作劇。但是愈仔細看信就愈看愈怪—這些式子好像都是對的。不僅如此，有好多個式子他從沒看過；更誇張的是，連他也無法證明！驚愕之餘哈代找來他的數學家好友約翰‧恩瑟‧李特爾伍德（John Edensor Littlewood） 一起端詳這九頁的信。他們的結論是，這是一個不世出的天才。

2月8日，哈代回信，邀請這個神秘的天才年輕人到英國來討論數學。

這個寄信的年輕人叫斯里尼瓦瑟‧拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），有史以來最神奇的天才數學家。

1913年距今一百多年。那時沒有電子郵件，沒有行動電話，沒有民航機。遠渡重洋，就要遠離家人，遠離年輕的妻子與年邁的母親，遠離過去，遠離熟悉的一切。幾經周折，女神在夢中說服了拉馬努金的母親。拉馬努金終究離開印度，踏上未知的路。

到了英國，拉馬努金隨即面臨巨大的衝擊。以數學的角度來看，一個式子不管看起來再怎麼奇妙，一定要有證明才能保證正確。但是拉馬努金沒有受過完整的高等數學訓練，在印度幾乎全憑直覺與自學，他不覺得“把證明寫下來”是一件重要的事。因此他在英國等於要重頭開始，他花了許多心力熟悉數學的語言。皇天不負苦心人，拉馬努金和哈代不久就合作寫出一篇傑作。

這是連幼稚園小朋友都懂的問題。如果只能用正整數和加號，有多少種方法可以湊成4？答案有五種。

4， 3+1， 2+2， 2+1+1， 1+1+1+1（順序不計，3+1 和1+3當作同一種）

讀者可以現在試試，有七種方法可以湊出5。

這裡挑戰一下讀者，若湊成10有多少方法？答案放在文末。

是的，慢慢試好像還是可以得到答案。但很快地情況就難以控制了。你無法想像湊成100有190569292， 超過一億九千萬個方法！那有多少方法可以湊成1000， 或更大的數？歷代數學家完全束手無策，但這又是數學上根本的重要問題。哈代和拉馬努金得到了估計公式，用他們的公式得到的答案與精確值的相對誤差可以接近到零。電影《天才無限家》生動描述了用他們的公式估計出湊出200的方法數是如何震攝了數學界。

這篇劃時代的論文讓拉馬努金一夕成為最頂尖的數學家之一。他和哈代再接再厲， 合寫了許多文章，每一篇都擲地有聲。1918年，拉馬努金被選為英國皇家學會會士與劍橋大學三一學院院士。

但命運之神就是這樣捉弄人。 印度四季酷熱，英國冬天濕冷。拉馬努金吃素，但正值一次大戰的英國蔬菜短缺。營養不良、不適應天氣，加上思鄉，拉馬努金病倒了，醫生診斷是嚴重的肺結核和維生素缺乏。1919年，他決定回家。回到印度後不到一年，拉馬努金就過世了，得年32歲。

拉馬努金研究的領域是「數論」與「組合數學」。數論是研究整數的學問，而組合數學也稱為離散數學，在電腦科學上有著廣泛的應用，同時也是密碼學，人工智慧、資料庫、演算法設計與分析的理論基礎。他發表的論文包含了許多嶄新的原創想法，對數學和物理的理論推展發展有巨大的貢獻。身後留下的幾百頁的筆記本中有數以百計的式子，到現在仍然迷惑著數學家。數學界甚至有個高品質的學術期刊，就叫做拉馬努金期刊，刊登與拉馬努金的研究有關的論文。