連分數漫談
江慶昱 臺中市私立衛道中學退休數學教師
楔子
去年衛道中學小六考國中，考了一題連分數，大致上是這樣子的。例如
用[2, 3, 1, 2]表示。
十多年前高中有教到連分數，用輾轉相除法求之。
項武義先生在《微積分》一書中說：微積分用來用去主要的就是「逼近法」這麼單斧直攻的一招。(註1)
我們在修習代數數論時，知道「連分數逼近法」是一個非常有效的逼近法，因此，雖然95、99課綱不上連分數，現在漫談連分數這就不會那麼奇怪了。
日食
如果單從月相變化來看，每當月亮位於「朔」的位置，似乎就應該產生日食，但實際上卻並不是如此。
原因就是地球繞太陽公轉的平面（黃道面）與月球繞地球公轉的平面（白道面）有一個大約五度的夾角，必須日、月兩者的位置相距在一度內，才能產生日食現象；所以必須等到地球繞太陽公轉軌道的位置，剛好位於白道面與黃道面的兩個交點（升交點、降交點）才有可能發生日食的現象，亦即必須符合這兩個條件才有可能發生日食的現象。
如果月球位於朔的位置，且恰巧位於白道與黃道的兩個交點上，就有可能發生日食。月相盈虧的平均週期約為29.530588天(稱為朔望月)，而月球穿過同一黃道面的交點週期為27.212220天(稱為交點月)。
連分數
交點週期=27.212220日(交點月)，朔望週期=29.530588日(朔望月)。設
S=n個朔望月=m個交點月
，則
,
將它用連分數表示
這個連分數的一，二，三，...次近似值(漸進分數)為
,
取到第五次近似值，即
，此時可取m=242, n=223, 則
，此時可取m=242, n=223, 則
m個交點月=6585.3572日，
n個223朔望月=6585.3211日。
它們相差0.0361日，因此6585.3211日近似地看成朔望月與交點月的公倍數。朔望月與交點月的最小公倍數大約為6585.32天，這個週期便是沙羅週期。
6585.32天，大約是223個朔望月，因此也常用223個朔望月來代表沙羅週期。
日食預測
西元前6~7世紀，伊朗高原的米底亞王國(Medes，今日伊朗、阿富汗北部、土耳其東部地區 )向西征服了亞述帝國，占領它的首都尼尼微，然後繼續西進小亞細亞，遇到了米底亞王國(Lydians，今日土耳其西部 )，兩國在哈利斯(Halys今柯茲勒河)發生劇烈戰爭，連續五年未見勝負，橫屍遍野。
泰勒斯(Thales 約620BC~546BC)是希臘的數學家，哲學家，天文學家，比畢達哥拉斯年長一些，他預知5月28日 下午3點(585年BC)會有日全食，於是他向交戰兩國宣布：上天對這場戰爭十分厭惡，將用日食向你們示警，若你們再不休戰，將有大難臨頭。
交戰雙方都不理會泰勒斯的警告，直到交戰時真的發生了日食，白晝變成黑夜，他們非常恐懼，於是歃血為盟，結束了戰爭。
這件事紀錄於古希臘歷史學家希羅多德(Herodotus 484BC~425BC)的著作希波戰爭史第一卷。
泰勒斯到過巴比倫，他能預測日食，顯然他遊學巴比倫期間學得了巴比倫的天文學。
後記
連分數一般的演算法是由P.A.Cataldi(1548~1626)在1613年提出，第一次有系統的研究是尤拉(L.P.Euler 1703~1783)於1737年提出。
至於國內，沈昭亮先生是我所知道的教授中，連分數的專家，參考資料中(5)(6)是他發表的連分式。
十多年前，我當數學科召集人，請沈昭亮教授到學校演講「連分數」，沈教授千里迢迢從新竹到台中，但是，(1)學校為了「不耽誤」學生課業，就只找二、三十位學生來聽；(2)學生沒有準備，因此與教授互動不足。
當時對沈教授的歉意一直在心上，至今猶不能忘懷。在此利用這個機會，向沈教授致上一個遲來的歉意。
參考資料
1.
項武義，《微積分》，萬人出版社。P.145.
7.
林聰源，《數學史-古典篇》，凡異出版社，P.82.
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