活化圓的教學----一個活化教學的案例
(教育部高中數學學科中心電子報79期)
張海潮 臺灣大學數學系退休教授
去年10月我參觀了一所國中活化教學的演示，經過情形記錄如下。
老師先拋出一個箏形（圖一）：
即四個邊中有兩對相等鄰邊的（凸）四邊形，形似風箏。
老師問學生這個四邊形的兩條對角線之間有什麼關係？教室中同學分成六組，各圍一桌而坐，於是開始分組討論，接著分別派代表報告，經過老師加入討論補充，暫時的結論是長的對角線垂直平分短的對角線。
老師問：如果是菱形呢？學生發現兩條對角線不論長短均互相垂直平分。
老師要求學生先對圖一的結論作一證明。分組討論如何進行約15分鐘後，同學們上台報告。
甲生：對圖一作對角線，
圖二
圖一
-2-
由SSS判定，DABC全等於DADC，因此Ð1= Ð2。又因為DBCD是等
腰三角形，其頂角平分線AC 會垂直平分底邊BD，得證。
乙生：對圖一作對角線
因為等腰三角形兩底角相等，所以∠5=∠6，∠3=∠4，因此
Ð5+Ð3 =Ð6+Ð4。從SAS判定得到DABC和DADC全等，所以
Ð1= Ð2，接著的推論與甲生相同。
丙生：DABC和DADC應該互為鏡射，鏡子是AC，這樣說可以嗎？
老師：你為何想到鏡射呢？圖四
圖三
-3-
丙生：我們用 3 公分 的AB和AD，5 公分 的CB和CD，畫圖如下，A, C是圓心，分別以3 公分 和5 公分 為半徑畫圓。
然後把兩圓的交點定成B, D，感覺上DABC和DADC互為鏡射對稱。
老師：圖五中AC 延長後同時是圓A 和圓C 的直徑，你想一個圓對它的直徑鏡射，圓會變嗎？
丙生：我明白了，因為AC 可以說同時是圓A 和圓C 的直徑，所以整個圖形對AC 是對稱的。
丙生停了一會兒繼續說：
圖形上下對翻，AC 不變，B 翻到D，D 翻到B，所以AC 垂直平分BD。
老師：等一下，當你畫圖五的時候，
A 和C 的距離取多少？
丙生：我們大致取一下A, C的距離，只要圖五中兩個圓可以相交在兩點就
好。
老師：所以你們覺得AC 的可能範圍是？
丁生：AC要小於 8 公分 ，因為DABC的兩邊AB和BC的和要大於AC。至
於最短，我想至少要大於2 公分 ，基於同樣的道理。
老師：大家同意在丙生畫圖五的時候，
AC 必須介於2 和8 公分 之間嗎？
丙生：這是因為5+3 = 8，而5-3 = 2嗎？
老師：這留作習題，回家再好好想想。但是至少你們看到ABCD這個四邊形，
即使邊長固定是3 公分 、3 公分 、5 公分 、5 公分 ，但是由於AC 的長
度可以調整，所以四邊形ABCD的形狀並不固定。
丁生：但是三角形的三邊長固定，形狀就固定了，這就是SSS 判定。
圖五
-4-
老師：是的，這也就是三角形如此基本的原因。同時大家有沒有想到圖五可
以用來證明SSS 判定？
此時，老師暫停讓同學們討論圖五和SSS 判定的關聯。
此段討論過後，老師請同學繼續上台發表。
戊生：我們組認為作風箏的時候本來就是先搭好兩根竹片。
然後把紙糊上去，這兩根竹片一定是互相垂直並且長的平分短的，否
則飛不穩。整個形狀ABCD就是圖一的箏形，這樣證明可以嗎？
甲生：可是這麼說的話，就等於先承認結論，就是把要證明的變成出發點來
說明。
老師：讓我想一想，戊生這樣說，當然有一些道理，大家是否幫忙想一想這
樣證明是不是需要補充些什麼？
己生：我覺得如果老師先畫好圖一，圖一不要動，而戊生這邊如果可以挑兩
根適當長的竹片搭成圖六的樣子，然後糊上紙作一個風箏，而這個風
箏和圖一的一模一樣，應該可以算是證明。
老師：己生的說法大家有聽懂嗎?這樣吧，今天時間也差不多了，我留四個
習題給大家回家作：
(一) 證明菱形的時候（圖二）兩條對角形互相垂直平分。
(二) 能否畫一個箏形，短的對角線平分長的對角線（有這種風箏嗎？）
(三) 戊生和己生的說法可以更清楚嗎？
(四) 利用圖五中的對稱性，證明SSS 判定並討論AC 的長度範圍。
另外，要把今天課堂發生的經過記錄下來，明天交給老師。
下課後，參觀者和老師有一個小座談。
Ａ君：老師，這樣上課能趕上進度嗎？
圖六
-5-
老師：基本的可以教完，有一些原本在課堂上教的，變成習題。不過，為什麼課本一定要教完呢？您大概知道，幾何課本裏的題目多得很，課外題更多，但是我們現在覺得教少而精比多而鬆要好。
Ｂ君：這樣教，將來參加十二年國教的會考或是特色招生會吃虧嗎？
老師：會考一定考得更好，因為學生變靈活了。至於特色招生，如果考一堆難題，那無論怎麼教都沒有把握。我們認為目前這樣的學習對學生無論是知識的掌握或是思考的深度都比以前好。還有一點，本校是一個完全中學，有相當多的前段生是想直升本校的。在這樣活潑的教學氣氛下，他們到了高中會讀得比以前的高中生好。
Ｃ君：您為何如此信心滿滿？
老師：過去是單向式的灌輸，雖然學得多，但是不一定消化。比方說，為了應付基測，搞出一套對付單選題的辦法，先排除一些選項，再猜答案，把人的學習品味弄得很糟。今天您可以看到，他們其實蠻喜歡討論如何進行證明。這樣的教法，可以讓他們對數學的學習保持熱忱，並且培養主動學習，互相討論和幫助同學解惑的好習慣。
Ｄ君：老師，如此進行，班上每一個學生都跟得上嗎？
老師：當然會有跟不上的同學，但是過去的教法跟不上的更多。今天我們當然注意到有的同學在分組討論時參與不夠，這就是我們還需要作課後輔導的部分。像今天我們搞定了四題作業和一份報告，對於班後段的學生，明天就會找時間，讓他們談談他們對今天學習的了悟程度。我個人認為，過去那種教數學的方式是再也走不下去了，尤其是這幾年受到國中基測四選一單選的影響，我們在課堂上連證明都講不下去，因為學生不要聽。現在，好不容易教育部希望我們活化教學，我認為這是一個契機。最後，我想說一點，我們今天的演示完全沒有事先套招，不信你們可以找學生問。謝謝大家。__
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