古巴比倫根號2

都是天平惹的禍

      現在的七年級國中生學習等量公理，正在等臂天平、沙包、砝碼操作中經由視覺觀察，形成抽象的等量觀念。是否想過，如果換作不等臂的天平，那麼會發生什麼奇妙的事呢？

       昌爸先說個奇怪的故事，阿濃在鎮上經營藥材，他用的天平還跟人家不同，奇怪的是天平兩臂長度是不一樣長度的。客人上門時，他總要提出二個稱重量計價的方式，由客人自己選擇。方法一是「由客人自己抓取藥材，再交給阿濃平分成兩份，再將其中一份放入左盤，砝碼放入右盤稱取重量；另一份則放入右盤，砝碼放入左盤稱取重量。就以兩次稱重的砝碼重量和，依時價付錢」。方法二是「依照客人要購買的藥材重量等分為二，再分別使用左盤稱取原藥材的二分之ㄧ重量；使用右盤稱取原藥材的二分之ㄧ重量，以兩次稱重的砝碼重量和，依時價付錢」。

      如果阿濃的不等臂天平，左臂10公分長，右臂20公分長。狀況一是，你到阿濃的店裡抓的藥材重8兩，由阿濃平分成相等兩份，依照方法一，將其中一份放入左盤，砝碼放入右盤稱取重量；另一份則放入右盤，砝碼放入左盤稱取重量。就以兩次稱重的砝碼重量總和，依時價付錢。

狀況二是，你告訴阿濃要買8兩藥材，由阿濃分別使用左盤稱取4兩重；使用右盤稱取4兩重，就以兩次稱重的砝碼重量總和，依時價付錢。

如果是狀況一，根據槓桿原理(參考下圖)，砝碼重量總和是8+2=10，你需要用10兩重的費用購買4+4=8兩重的藥材，顯然很不合算，你吃虧了。

　

如果是狀況二，根據槓桿原理(參考下圖)，砝碼重量總和 4+4=8，你用8兩重的費用就可以買到2+8=10兩重的藥材，顯然是你占便宜了。

       

　

如果鎮上知道這個秘密，怪人阿濃還不換一隻等臂天平，或者再想一個更好的方法，否則是要吃虧關店的。

         其實這道理不是很難理解，如果阿濃天平的左右臂長度分別為 a 與 b  (公分)，其中 a < b 。狀況一，客人抓取 2x  兩重藥材，阿濃 將 x 兩藥材放左盤，根據槓桿原理知右盤需要放入兩重的砝碼，使其平衡；將 x 兩藥材放右盤，根據槓桿原理知左盤需要放入兩重的砝碼，使其平衡。砝碼總重是兩，因為 (a－b)² = a²－2ab+b² ＞0，且不等臂即 a≠b，又 a²+b² ＞ 2ab ，因此 。所以狀況一的砝碼總重兩是大於2x兩重的，這時以砝碼總重計價，以多買少，當然是對買方不利的。

而狀況二是先以x兩重的砝碼分別放入左右盤去稱取薬材，這樣所稱得的藥材總重是。由先前推演，已知，所以這時是以少買多，當然是對買方有利的。